Номер 15, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.15. Вычислите: $9^{2} + \log_{9} \cos 660^{\circ}$

Для решения данного примера необходимо выполнить несколько шагов по упрощению выражения.

1. Преобразование выражения по свойству степени

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$9^{2 + \log_9 \cos{660^\circ}} = 9^2 \cdot 9^{\log_9 \cos{660^\circ}}$

2. Вычисление значения тригонометрической функции

Найдем значение $\cos{660^\circ}$. Функция косинуса имеет период $360^\circ$, поэтому мы можем упростить аргумент:

$\cos{660^\circ} = \cos(660^\circ - 360^\circ) = \cos(300^\circ)$

Применим формулу приведения $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha$:

$\cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ)$

Табличное значение $\cos{60^\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, $\cos{660^\circ} = \frac{1}{2}$.

3. Упрощение с использованием основного логарифмического тождества

Подставим полученное значение в выражение из шага 1:

$9^2 \cdot 9^{\log_9 \frac{1}{2}}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, второй множитель упрощается:

$9^{\log_9 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

4. Окончательное вычисление

Теперь у нас есть все компоненты для финального расчета:

$9^2 = 81$

Перемножим полученные значения:

$81 \cdot \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$\frac{81}{2} = 40\frac{1}{2}$

Вычислите Ответ: 40$\frac{1}{2}$