Номер 20, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.20. Найдите значение выражения

$\log_{1,(3)} (\sin 251^\circ \cdot \cos 191^\circ + \cos 101^\circ \cdot \cos 71^\circ)$

Для нахождения значения выражения необходимо последовательно упростить его составляющие: аргумент и основание логарифма.

Шаг 1: Упрощение тригонометрического выражения в аргументе логарифма.

Аргумент логарифма: $A = \sin(251^\circ) \cdot \cos(191^\circ) + \cos(101^\circ) \cdot \cos(71^\circ)$.
Для упрощения воспользуемся формулами приведения, чтобы привести тригонометрические функции к углам из первой четверти.

$\sin(251^\circ) = \sin(180^\circ + 71^\circ) = -\sin(71^\circ)$

$\cos(191^\circ) = \cos(180^\circ + 11^\circ) = -\cos(11^\circ)$

$\cos(101^\circ) = \cos(90^\circ + 11^\circ) = -\sin(11^\circ)$

Подставим полученные значения обратно в выражение для аргумента $A$:

$A = (-\sin(71^\circ)) \cdot (-\cos(11^\circ)) + (-\sin(11^\circ)) \cdot \cos(71^\circ) = \sin(71^\circ)\cos(11^\circ) - \cos(71^\circ)\sin(11^\circ)$

Полученное выражение соответствует тригонометрической формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

При $\alpha = 71^\circ$ и $\beta = 11^\circ$ имеем:

$A = \sin(71^\circ - 11^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Преобразование основания логарифма.

Основание логарифма — это периодическая десятичная дробь $1,(3)$. Переведем ее в обыкновенную дробь:

$1,(3) = 1 + 0,333... = 1 + \frac{3}{9} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Шаг 3: Вычисление логарифма.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$\log_{4/3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Пусть значение этого логарифма равно $x$, то есть $\log_{4/3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = x$.
По определению логарифма, это эквивалентно следующему показательному уравнению:

$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы решить это уравнение, приведем его правую часть к тому же основанию, что и левую, то есть к $\frac{4}{3}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1/2}$

Используя свойство степеней $\frac{a}{b} = (\frac{b}{a})^{-1}$, получаем:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1/2} = \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\right)^{1/2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1/2}$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1/2}$

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.