Номер 3, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.3. Показательная функция задана формулой

$f(x) = 25^x$. Найдите:

а) $f(-2);$

б) $f(0);$

в) $f\left(\frac{1}{3}\right);$

г) $f(\log_5 2).$

а) $f(-2)$;
Для нахождения значения функции $f(x) = 25^x$ в точке $x = -2$, подставим данное значение в формулу функции:
$f(-2) = 25^{-2}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$25^{-2} = \frac{1}{25^2} = \frac{1}{625}$
Ответ: $\frac{1}{625}$.

б) $f(0)$;
Для нахождения значения функции в точке $x = 0$, подставим данное значение в формулу:
$f(0) = 25^0$
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
$f(0) = 1$
Ответ: $1$.

в) $f(\frac{1}{3})$;
Для нахождения значения функции в точке $x = \frac{1}{3}$, подставим данное значение в формулу:
$f(\frac{1}{3}) = 25^{\frac{1}{3}}$
Это выражение можно записать в виде кубического корня:
$25^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{25}$
Так как 25 не является точным кубом какого-либо рационального числа, ответ остается в виде иррационального числа.
Ответ: $\sqrt[3]{25}$.

г) $f(\log_5 2)$;
Для нахождения значения функции в точке $x = \log_5 2$, подставим данное значение в формулу:
$f(\log_5 2) = 25^{\log_5 2}$
Чтобы упростить выражение, представим основание степени 25 как степень числа 5, так как основание логарифма равно 5: $25 = 5^2$.
$25^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2}$
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \cdot \log_5 2}$
Далее, используем свойство логарифма $k \cdot \log_b a = \log_b (a^k)$:
$5^{2 \cdot \log_5 2} = 5^{\log_5 (2^2)} = 5^{\log_5 4}$
Наконец, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$5^{\log_5 4} = 4$
Ответ: $4$.