Номер 17, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.17. Постройте график функции:

а) $y = 2^{\log_2(x-1)};$

б) $y = 3^{\log_3 x^2};$

в) $y = \log_{x-2} (x-2)^3;$

г) $y = 36^{\log_6 x};$

д) $y = 7^{\log_{49} x};$

е) $y = 0,1^{\lg x}.$

Для построения графиков данных функций необходимо сначала их упростить, используя свойства логарифмов и степеней, а затем определить область определения (ОДЗ) для каждой функции.

а) $y = 2^{\log_2(x-1)}$

1. Упрощение функции. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $a=2$ и $b = x-1$.
Следовательно, $y = x-1$.

2. Область определения (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$x-1 > 0$, откуда $x > 1$.
Таким образом, ОДЗ: $D(y) = (1; +\infty)$.

3. Построение графика. Графиком функции является прямая $y=x-1$, но с ограничением на область определения $x > 1$. Это луч, который начинается в точке $(1, 0)$, причем сама точка выколота (не принадлежит графику).

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x-1$ при $x>1$.

б) $y = 3^{\log_3 x^2}$

1. Упрощение функции. Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$y = x^2$.

2. Область определения (ОДЗ). Аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго больше нуля.
$x^2 > 0$.
Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$.
ОДЗ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Построение графика. Графиком является парабола $y=x^2$, у которой выколота точка в вершине $(0, 0)$, так как $x \neq 0$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

в) $y = \log_{x-2}(x-2)^3$

1. Упрощение функции. Используем свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$:
$y = 3 \log_{x-2}(x-2)$.
Так как $\log_a a = 1$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Область определения (ОДЗ). Для логарифма $\log_a b$ должны выполняться условия: $b>0$, $a>0$, $a \neq 1$.
В нашем случае основание $a = x-2$ и аргумент $b = (x-2)^3$.
1) $a > 0 \implies x-2 > 0 \implies x > 2$.
2) $a \neq 1 \implies x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$.
3) $b > 0 \implies (x-2)^3 > 0 \implies x-2 > 0 \implies x > 2$. (Это условие уже учтено в первом пункте).
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $D(y) = (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Построение графика. Графиком является горизонтальная прямая $y=3$, определенная на своей ОДЗ. Это луч, начинающийся от точки $(2, 3)$ (не включая ее) и имеющий выколотую точку в $(3, 3)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = 3$ при $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

г) $y = 36^{\log_6 x}$

1. Упрощение функции. Преобразуем основание степени: $36 = 6^2$.
$y = (6^2)^{\log_6 x} = 6^{2\log_6 x}$.
Используем свойство $c \log_a b = \log_a b^c$:
$y = 6^{\log_6 x^2}$.
По основному логарифмическому тождеству получаем:
$y = x^2$.

2. Область определения (ОДЗ). Из исходной функции $y = 36^{\log_6 x}$ следует, что аргумент логарифма должен быть положителен:
$x > 0$.
ОДЗ: $D(y) = (0; +\infty)$.

3. Построение графика. Графиком является парабола $y=x^2$, но с учетом ОДЗ ($x>0$), мы строим только ее правую ветвь, которая лежит в первой координатной четверти. Точка $(0, 0)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y = x^2$ при $x>0$.

д) $y = 7^{\log_{49} x}$

1. Упрощение функции. Приведем логарифм к основанию 7, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:
$\log_{49} x = \frac{\log_7 x}{\log_7 49} = \frac{\log_7 x}{2} = \frac{1}{2}\log_7 x$.
Подставляем в исходную функцию:
$y = 7^{\frac{1}{2}\log_7 x} = 7^{\log_7 x^{1/2}} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

2. Область определения (ОДЗ). Аргумент логарифма $x$ должен быть положителен:
$x > 0$.
ОДЗ: $D(y) = (0; +\infty)$.

3. Построение графика. Графиком является функция $y=\sqrt{x}$ при $x>0$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: Графиком функции является кривая $y = \sqrt{x}$ при $x>0$.

е) $y = 0.1^{\lg x}$

1. Упрощение функции. Заметим, что $\lg x = \log_{10} x$ и $0.1 = 10^{-1}$.
$y = (10^{-1})^{\log_{10} x} = 10^{-\log_{10} x}$.
Используем свойство $c \log_a b = \log_a b^c$:
$y = 10^{\log_{10} x^{-1}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

2. Область определения (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть положителен:
$x > 0$.
ОДЗ: $D(y) = (0; +\infty)$.

3. Построение графика. Графиком является функция $y = \frac{1}{x}$ при $x>0$. Это одна ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

Ответ: Графиком функции является ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$ при $x>0$.