Номер 10, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.10. Вычислите:

а) $7^{\log_7 2} : \log_{\frac{1}{3}} 9$;

б) $0,25^{\log_4 3} \cdot \lg 0,01$;

в) $\log_7 \sqrt[6]{7} \cdot (10^{\lg 11} - \log_{\sqrt{2}} 2)$;

г) $(\log_{\sqrt{5}} 25 - \log_{3\sqrt{3}} 9) \cdot (\log_6 216 + 3^{\log_3 7})$;

д) $(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5+\log_2 7}$;

e) $36^{\log_6 5 - \log_{\sqrt{6}} 3}$;

ж) $25^{0,25\log_5 9} - 121^{0,5\log_{11} 21}$;

з) $(2^{\log_{\sqrt{2}}(2\log_2 \sqrt{2})})^{\log_{\sqrt{2}} 4}$.

а) $7^{\log_7 2} : \log_{\frac{1}{3}} 9$

1. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 2} = 2$

2. Вычисляем второй логарифм $\log_{\frac{1}{3}} 9$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 9 = x$.

По определению логарифма: $(\frac{1}{3})^x = 9$.

Представим обе части в виде степени с основанием 3: $(3^{-1})^x = 3^2$, что равно $3^{-x} = 3^2$.

Отсюда $-x = 2$, значит $x = -2$.

3. Выполняем деление:

$2 : (-2) = -1$

Ответ: -1

б) $0,25^{\log_4 3} \cdot \lg 0,01$

1. Преобразуем первый множитель. $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.

$0,25^{\log_4 3} = (4^{-1})^{\log_4 3} = 4^{-\log_4 3} = 4^{\log_4 3^{-1}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

2. Преобразуем второй множитель. $\lg$ - это логарифм по основанию 10.

$\lg 0,01 = \log_{10} 10^{-2} = -2$.

3. Выполняем умножение:

$\frac{1}{3} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

в) $\log_7 \sqrt[6]{7} \cdot (10^{\lg 11} - \log_{\sqrt{2}} 2)$

1. Вычисляем первый множитель. $\sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}}$.

$\log_7 \sqrt[6]{7} = \log_7 7^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6}$.

2. Вычисляем выражение в скобках:

$10^{\lg 11} = 10^{\log_{10} 11} = 11$ (по основному логарифмическому тождеству).

$\log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Значение в скобках: $11 - 2 = 9$.

3. Выполняем умножение:

$\frac{1}{6} \cdot 9 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$

г) $(\log_{\sqrt{5}} 25 - \log_{3\sqrt{3}} 9) \cdot (\log_6 216 + 3^{\log_3 7})$

1. Вычисляем значение первой скобки:

$\log_{\sqrt{5}} 25 = \log_{5^{1/2}} 5^2 = \frac{2}{1/2} \log_5 5 = 4 \cdot 1 = 4$.

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}$ и $9=3^2$.

$\log_{3\sqrt{3}} 9 = \log_{3^{3/2}} 3^2 = \frac{2}{3/2} \log_3 3 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$.

Значение первой скобки: $4 - \frac{4}{3} = \frac{12-4}{3} = \frac{8}{3}$.

2. Вычисляем значение второй скобки:

$\log_6 216 = \log_6 6^3 = 3$.

$3^{\log_3 7} = 7$ (по основному логарифмическому тождеству).

Значение второй скобки: $3 + 7 = 10$.

3. Выполняем умножение:

$\frac{8}{3} \cdot 10 = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3}$.

Ответ: $26\frac{2}{3}$

д) $(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5 + \log_2 7}$

1. Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5 + \log_2 7} = (\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5} \cdot (\sqrt{2})^{\log_2 7}$.

2. Вычисляем первый множитель по основному логарифмическому тождеству:

$(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5} = 5$.

3. Вычисляем второй множитель. Представим $\sqrt{2}$ как $2^{1/2}$:

$(\sqrt{2})^{\log_2 7} = (2^{1/2})^{\log_2 7} = 2^{\frac{1}{2}\log_2 7} = 2^{\log_2 7^{1/2}} = 7^{1/2} = \sqrt{7}$.

4. Перемножаем результаты:

$5 \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt{7}$.

Ответ: $5\sqrt{7}$

е) $36^{\log_6 5 - \log_{\sqrt{6}} 3}$

1. Преобразуем показатель степени. Приведем логарифмы к одному основанию 6:

$\log_{\sqrt{6}} 3 = \log_{6^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2}\log_6 3 = 2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9$.

Показатель степени: $\log_6 5 - \log_6 9 = \log_6(\frac{5}{9})$.

2. Подставляем полученный показатель в исходное выражение:

$36^{\log_6(\frac{5}{9})} = (6^2)^{\log_6(\frac{5}{9})} = 6^{2 \log_6(\frac{5}{9})} = 6^{\log_6((\frac{5}{9})^2)} = (\frac{5}{9})^2 = \frac{25}{81}$.

Ответ: $\frac{25}{81}$

ж) $25^{0,25\log_5 9} - 121^{0,5\log_{11} 21}$

1. Преобразуем первое слагаемое:

$25^{0,25\log_5 9} = (5^2)^{\frac{1}{4}\log_5 9} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_5 9} = 5^{\frac{1}{2}\log_5 9} = 5^{\log_5 9^{1/2}} = 5^{\log_5 3} = 3$.

2. Преобразуем второе слагаемое:

$121^{0,5\log_{11} 21} = (11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11} 21} = 11^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{11} 21} = 11^{\log_{11} 21} = 21$.

3. Выполняем вычитание:

$3 - 21 = -18$.

Ответ: -18

з) $(2^{\log_{\sqrt[4]{2}}(2\log_2 \sqrt{2})})^{\log_{\sqrt{2}} 4}$

1. Упростим выражение в скобках внутри первого показателя степени:

$2\log_2 \sqrt{2} = 2\log_2 2^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

2. Подставим это значение. Теперь нужно вычислить основание степени, которое находится в больших скобках:

$2^{\log_{\sqrt[4]{2}}(1)}$.

Так как логарифм по любому основанию (кроме 1) от 1 равен 0, то $\log_{\sqrt[4]{2}} 1 = 0$.

Основание степени равно $2^0 = 1$.

3. Теперь все выражение имеет вид $1^{\log_{\sqrt{2}} 4}$.

Любая действительная степень единицы равна единице. Таким образом, $1^{\log_{\sqrt{2}} 4} = 1$.

(Проверим показатель: $\log_{\sqrt{2}} 4 = \log_{2^{1/2}} 2^2 = \frac{2}{1/2} \log_2 2 = 4$. Тогда $1^4 = 1$.)

Ответ: 1