Номер 3, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_7 = 21, a_9 = 29$.

а) $a_1 = -3, d = 4$;

б) $a_1 = 3, d = 4$;

в) $a_1 = 4, d = -3$;

г) $a_1 = -27, d = 8$;

д) $a_1 = -3, d = -4$.

Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи нам даны седьмой и девятый члены прогрессии:

$a_7 = 21$

$a_9 = 29$

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, подставив известные значения в формулу:

$\begin{cases} a_7 = a_1 + (7-1)d \\ a_9 = a_1 + (9-1)d \end{cases} \implies \begin{cases} 21 = a_1 + 6d \\ 29 = a_1 + 8d \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $a_1$ и найти $d$:

$(a_1 + 8d) - (a_1 + 6d) = 29 - 21$

$2d = 8$

$d = \frac{8}{2} = 4$

Теперь, зная разность прогрессии $d=4$, найдем первый член $a_1$, подставив это значение в первое уравнение системы:

$21 = a_1 + 6d$

$21 = a_1 + 6 \cdot 4$

$21 = a_1 + 24$

$a_1 = 21 - 24$

$a_1 = -3$

Таким образом, искомые значения: первый член $a_1 = -3$ и разность $d = 4$. Это соответствует варианту а).

а) $a_1 = -3, d = 4$; Ответ: -3 и 4

б) $a_1 = 3, d = 4$; Ответ: 3 и 4

в) $a_1 = 4, d = -3$; Ответ: 4 и -3

г) $a_1 = -27, d = 8$; Ответ: -27 и 8

д) $a_1 = -3, d = -4$; Ответ: -3 и -4