Номер 6, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите натуральное число, которое равно $ \frac{1}{21} $ суммы предшествующих ему натуральных чисел.

а) 54;

б) 45;

в) 21;

г) 43;

д) 47.

Пусть искомое натуральное число — $n$.

Сумма предшествующих ему натуральных чисел (от 1 до $n-1$) вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_{n-1} = \frac{(n-1)n}{2}$.

Согласно условию задачи, число $n$ равно $\frac{1}{21}$ этой суммы. Составим и решим уравнение:

$n = \frac{1}{21} \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Для $n=1$ равенство не выполняется ($1 \neq 0$), значит $n>1$. Мы можем разделить обе части уравнения на $n$:

$1 = \frac{n-1}{21 \cdot 2}$

$1 = \frac{n-1}{42}$

$42 = n-1$

$n = 43$

Итак, искомое число равно 43. Проверим этот результат, а также остальные предложенные варианты, вычислив для каждого $\frac{1}{21}$ от суммы предшествующих ему натуральных чисел.

а) 54; Сумма чисел от 1 до 53: $S_{53} = \frac{53 \cdot 54}{2} = 1431$. $\frac{1}{21}$ от суммы: $\frac{1431}{21} = 68 \frac{3}{21}$. Это не равно 54. Ответ: 68

б) 45; Сумма чисел от 1 до 44: $S_{44} = \frac{44 \cdot 45}{2} = 990$. $\frac{1}{21}$ от суммы: $\frac{990}{21} = 47 \frac{3}{21}$. Это не равно 45. Ответ: 47

в) 21; Сумма чисел от 1 до 20: $S_{20} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$. $\frac{1}{21}$ от суммы: $\frac{210}{21} = 10$. Это не равно 21. Ответ: 10

г) 43; Сумма чисел от 1 до 42: $S_{42} = \frac{42 \cdot 43}{2} = 903$. $\frac{1}{21}$ от суммы: $\frac{903}{21} = 43$. Условие выполняется. Ответ: 43

д) 47; Сумма чисел от 1 до 46: $S_{46} = \frac{46 \cdot 47}{2} = 1081$. $\frac{1}{21}$ от суммы: $\frac{1081}{21} = 51 \frac{10}{21}$. Это не равно 47. Ответ: 51