Номер 15, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, больше 337, но меньше 393. Найдите восьмой член этой прогрессии, если известно, что он кратен четырем.

Пусть `a_n` — данная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, `d` — её разность.

Сумма первых `n` членов арифметической прогрессии вычисляется по одной из формул: `$S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$` или `$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$`.

В нашем случае `n=15`. Используем вторую формулу: `$S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = (a_1 + 7d) \cdot 15$`

Формула n-го члена прогрессии: `$a_n = a_1 + (n-1)d$`. Найдем восьмой член прогрессии (`n=8`): `$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$`.

Теперь мы можем выразить сумму первых пятнадцати членов через её восьмой член: `$S_{15} = a_8 \cdot 15$`

По условию задачи, сумма первых пятнадцати членов прогрессии больше 337, но меньше 393. Запишем это в виде двойного неравенства: `$337 < S_{15} < 393$`

Подставим в неравенство выражение для `$S_{15}$`: `$337 < 15 \cdot a_8 < 393$`

Чтобы найти возможные значения `$a_8$`, разделим все части неравенства на 15: `$\frac{337}{15} < a_8 < \frac{393}{15}$`

Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа, чтобы определить границы для `$a_8$`: `$337 \div 15 = 22$` с остатком 7, следовательно, `$\frac{337}{15} = 22\frac{7}{15}$`. `$393 \div 15 = 26$` с остатком 3, следовательно, `$\frac{393}{15} = 26\frac{3}{15} = 26\frac{1}{5}$`.

Таким образом, мы получили неравенство для восьмого члена прогрессии: `$22\frac{7}{15} < a_8 < 26\frac{1}{5}$`

Так как по условию все члены прогрессии являются натуральными числами, `$a_8$` должен быть целым числом. Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 23, 24, 25, 26.

Также в условии сказано, что восьмой член прогрессии кратен четырем. Проверим найденные возможные значения: из чисел 23, 24, 25 и 26 только 24 делится на 4 без остатка.

Следовательно, восьмой член прогрессии равен 24.

Восьмой член прогрессии: Ответ: 24