Номер 5, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Найдите номер члена геометрической прогрессии $0,1; 0,3; \dots$, равного $218,7$.

а) 5;

б) 8;

В) 7;

г) 6;

д) 9.

Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 0,1$ и второй член $b_2 = 0,3$.

Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель прогрессии — это число, на которое умножается каждый предыдущий член, чтобы получить следующий. Он вычисляется как отношение любого члена прогрессии к предыдущему.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,3}{0,1} = 3$

Формула n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

В условии задачи нам дан n-й член прогрессии $b_n = 218,7$, и нам нужно найти его номер $n$. Подставим все известные значения в формулу:

$218,7 = 0,1 \cdot 3^{n-1}$

Чтобы решить это уравнение относительно $n$, сначала разделим обе части на 0,1:

$3^{n-1} = \frac{218,7}{0,1}$

$3^{n-1} = 2187$

Теперь нам нужно найти, в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить 2187. Давайте последовательно посчитаем степени тройки:

$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$

Таким образом, мы выяснили, что $2187 = 3^7$. Теперь мы можем подставить это значение обратно в наше уравнение:

$3^{n-1} = 3^7$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n - 1 = 7$

Отсюда находим $n$:

$n = 7 + 1 = 8$

Значит, член геометрической прогрессии, равный 218,7, имеет номер 8.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами:

а) 5;

б) 8; Ответ: 8

в) 7;

г) 6;

д) 9.