Номер 12, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Крайние члены арифметической прогрессии, имеющей семь членов, равны 11 и 35. Найдите, сколько членов имеет другая убывающая арифметическая прогрессия, крайние члены которой 38 и 13, если четвертые члены обеих прогрессий одинаковы.

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов. Сначала найдем параметры первой арифметической прогрессии, затем, используя общие данные, найдем параметры второй и ответим на главный вопрос задачи.

1. Нахождение четвертого члена первой арифметической прогрессии.

Пусть первая арифметическая прогрессия обозначается как $a_n$. По условию, она имеет $n=7$ членов, ее первый член $a_1 = 11$, а седьмой член $a_7 = 35$. Разность этой прогрессии обозначим как $d_1$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для седьмого члена запишем:

$a_7 = a_1 + (7-1)d_1$

Подставим известные значения и найдем разность $d_1$:

$35 = 11 + 6d_1$

$6d_1 = 35 - 11$

$6d_1 = 24$

$d_1 = \frac{24}{6} = 4$

Теперь мы можем найти четвертый член первой прогрессии, $a_4$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d_1 = 11 + 3 \cdot 4 = 11 + 12 = 23$.

2. Нахождение разности второй арифметической прогрессии.

Пусть вторая арифметическая прогрессия обозначается как $b_k$. По условию, она убывающая, ее первый член $b_1 = 38$, а последний $b_k = 13$. Разность этой прогрессии обозначим как $d_2$.

Также по условию, четвертые члены обеих прогрессий равны, следовательно, $b_4 = a_4 = 23$.

Используя формулу n-го члена для второй прогрессии, найдем ее разность $d_2$:

$b_4 = b_1 + (4-1)d_2$

$23 = 38 + 3d_2$

$3d_2 = 23 - 38$

$3d_2 = -15$

$d_2 = \frac{-15}{3} = -5$

Так как $d_2 < 0$, это подтверждает, что вторая прогрессия является убывающей.

3. Нахождение количества членов во второй арифметической прогрессии.

Мы знаем первый член ($b_1 = 38$), последний член ($b_k = 13$) и разность ($d_2 = -5$) второй прогрессии. Чтобы найти количество членов $k$, снова воспользуемся формулой n-го члена:

$b_k = b_1 + (k-1)d_2$

Подставим известные значения:

$13 = 38 + (k-1)(-5)$

$13 - 38 = -5(k-1)$

$-25 = -5(k-1)$

Разделим обе части уравнения на $-5$:

$5 = k-1$

Отсюда находим $k$:

$k = 5 + 1 = 6$

Ответ: другая убывающая арифметическая прогрессия имеет 6 членов.