Номер 6, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. В геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что $b_{43} \cdot b_{36} = 57$. Найдите значение выражения $b_{33} \cdot b_{46}$.

а) 114; б) 26,5;

в) 19; г) 76;

д) 57.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Использование формулы n-го члена

Формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Используя эту формулу, выразим члены, данные в условии:
$b_{43} = b_1 \cdot q^{43-1} = b_1 \cdot q^{42}$
$b_{36} = b_1 \cdot q^{36-1} = b_1 \cdot q^{35}$

Их произведение равно:
$b_{43} \cdot b_{36} = (b_1 \cdot q^{42}) \cdot (b_1 \cdot q^{35}) = b_1^2 \cdot q^{42+35} = b_1^2 \cdot q^{77}$

По условию, $b_{43} \cdot b_{36} = 57$, следовательно, $b_1^2 \cdot q^{77} = 57$.

Теперь выразим члены, произведение которых нужно найти:
$b_{33} = b_1 \cdot q^{33-1} = b_1 \cdot q^{32}$
$b_{46} = b_1 \cdot q^{46-1} = b_1 \cdot q^{45}$

Их произведение равно:
$b_{33} \cdot b_{46} = (b_1 \cdot q^{32}) \cdot (b_1 \cdot q^{45}) = b_1^2 \cdot q^{32+45} = b_1^2 \cdot q^{77}$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $b_{33} \cdot b_{46} = b_1^2 \cdot q^{77}$ и $b_{43} \cdot b_{36} = b_1^2 \cdot q^{77}$. Таким образом, $b_{33} \cdot b_{46} = b_{43} \cdot b_{36} = 57$.

Способ 2: Использование свойства равноотстоящих членов

В геометрической прогрессии произведение членов, равноотстоящих от концов, постоянно. В более общем виде это свойство можно сформулировать так: если для натуральных чисел $k, l, m, n$ выполняется равенство $k + l = m + n$, то для членов геометрической прогрессии будет справедливо равенство $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_n$.

Проверим суммы индексов для нашей задачи.

Для известного произведения $b_{43} \cdot b_{36}$:
Сумма индексов: $43 + 36 = 79$.

Для искомого произведения $b_{33} \cdot b_{46}$:
Сумма индексов: $33 + 46 = 79$.

Поскольку суммы индексов равны, то равны и произведения соответствующих членов:
$b_{33} \cdot b_{46} = b_{43} \cdot b_{36} = 57$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату, который соответствует варианту ответа д).

д) Ответ: 57