Номер 3, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Найдите второй член геометрической прогрессии, если ее первый член равен $1/8$, а восьмой член равен $1/{1024}$.

а) $1/4$;

б) $4$;

в) $1/{16}$;

г) $16$;

д) $1/2$.

Для нахождения второго члена геометрической прогрессии ($b_2$) необходимо сначала определить ее знаменатель ($q$).

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

Согласно условию задачи, нам известны:

Первый член $b_1 = \frac{1}{8}$

Восьмой член $b_8 = \frac{1}{1024}$

Используем формулу для восьмого члена ($n=8$), чтобы найти знаменатель $q$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\frac{1}{1024} = \frac{1}{8} \cdot q^7$

Выразим отсюда $q^7$:

$q^7 = \frac{1}{1024} : \frac{1}{8} = \frac{1}{1024} \cdot \frac{8}{1} = \frac{8}{1024}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 8:

$q^7 = \frac{1}{128}$

Чтобы найти $q$, необходимо извлечь корень седьмой степени из $\frac{1}{128}$. Поскольку $2^7 = 128$, получаем:

$q = \sqrt[7]{\frac{1}{128}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная первый член $b_1$ и знаменатель $q$, мы можем легко найти второй член прогрессии $b_2$ по формуле:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$

Таким образом, второй член геометрической прогрессии равен $\frac{1}{16}$.

Это соответствует варианту ответа в) $\frac{1}{16}$: Ответ: $\frac{1}{16}$