Номер 13, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите наименьшее значение выражения

$8x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x + 2y - 12.$

Для нахождения наименьшего значения выражения $8x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x + 2y - 12$ преобразуем его, выделив полные квадраты. Этот метод позволяет представить выражение в виде суммы квадратов и некоторой константы. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, наименьшее значение выражения будет достигаться, когда слагаемые, представляющие собой полные квадраты, будут равны нулю.

Обозначим данное выражение как $E(x, y)$ и начнем преобразование. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $y$:

$E(x, y) = (2y^2 - 4xy + 2y) + 8x^2 + 4x - 12$

Вынесем коэффициент 2 за скобки из первой группы слагаемых:

$E(x, y) = 2(y^2 - 2xy + y) + 8x^2 + 4x - 12$

Теперь в выражении $y^2 - 2xy + y$ выделим полный квадрат по переменной $y$. Для этого представим его в виде $y^2 + (1-2x)y$. Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $y$, то есть $(\frac{1-2x}{2})^2$:

$y^2 + (1-2x)y = \left(y + \frac{1-2x}{2}\right)^2 - \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 = \left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$

Подставим полученное выражение обратно в $E(x, y)$:

$E(x, y) = 2\left[ \left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \right] + 8x^2 + 4x - 12$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E(x, y) = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 8x^2 + 4x - 12$

$E(x, y) = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - 2(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 8x^2 + 4x - 12$

$E(x, y) = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 - 2x^2 + 2x - \frac{1}{2} + 8x^2 + 4x - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$E(x, y) = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + (8x^2 - 2x^2) + (2x + 4x) + \left(-\frac{1}{2} - 12\right)$

$E(x, y) = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + 6x^2 + 6x - \frac{25}{2}$

Теперь выделим полный квадрат для слагаемых, содержащих $x$:

$6x^2 + 6x - \frac{25}{2} = 6(x^2 + x) - \frac{25}{2} = 6\left( \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) - \frac{25}{2}$

$= 6\left( \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) - \frac{25}{2} = 6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - 6 \cdot \frac{1}{4} - \frac{25}{2}$

$= 6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{2} - \frac{25}{2} = 6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{28}{2} = 6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - 14$

Таким образом, исходное выражение полностью преобразовано к виду:

$E(x, y) = 2\left(y - x + \frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - 14$

Это выражение является суммой двух неотрицательных слагаемых (квадраты чисел, умноженные на положительные коэффициенты) и константы $-14$. Наименьшее значение достигается, когда оба квадрата равны нулю:

$\begin{cases} x+\frac{1}{2} = 0 \\ y - x + \frac{1}{2} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим $x = -\frac{1}{2}$. Подставляем это значение во второе уравнение:

$y - \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = 0 \implies y + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$

При значениях $x = -\frac{1}{2}$ и $y = -1$ оба квадрата в преобразованном выражении обращаются в ноль, и значение выражения становится минимальным: $2(0)^2 + 6(0)^2 - 14 = -14$.

13. Найдите наименьшее значение выражения $8x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x + 2y - 12$. Ответ: -14