Номер 27.6, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.6. Найдите абсциссу точки графика функции $f(x)=\sqrt{7-x}$, в которой касательная к этому графику наклонена к оси $Ox$ под углом $135^\circ$.

27.6. Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом наклона $\alpha$ к положительному направлению оси $Ox$ соотношением $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = 135^{\circ}$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \tan(135^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\tan(45^{\circ}) = -1$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f'(x_0)$ в этой точке. Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{7 - x}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, представим функцию в виде $f(x) = (7 - x)^{1/2}$: $f'(x) = ((7 - x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(7 - x)^{1/2 - 1} \cdot (7 - x)' = \frac{1}{2}(7 - x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{7 - x}}$.

Теперь приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти искомую абсциссу $x$: $f'(x) = k \implies -\frac{1}{2\sqrt{7 - x}} = -1$.

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на $-1$: $\frac{1}{2\sqrt{7 - x}} = 1$. Из этого следует, что знаменатель равен 1: $2\sqrt{7 - x} = 1$. Разделим обе части на 2: $\sqrt{7 - x} = \frac{1}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $(\sqrt{7 - x})^2 = (\frac{1}{2})^2 \implies 7 - x = \frac{1}{4}$.

Выразим $x$ из уравнения: $x = 7 - \frac{1}{4} = \frac{28}{4} - \frac{1}{4} = \frac{27}{4}$. Найденное значение $x = 6.75$ входит в область определения функции $f(x) = \sqrt{7-x}$ (где $x \le 7$), поэтому является корректным решением. Представим неправильную дробь $\frac{27}{4}$ в виде смешанного числа, чтобы выделить целую часть: $x = 6 \frac{3}{4}$.

Ответ: $x = \mathbf{6}\frac{3}{4}$.