Номер 27.4, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.4. Под каким углом наклонена касательная, проведенная к графику функции $f(x)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$ в точке ее пересечения с осью ординат?

Угол наклона $\alpha$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ определяется тангенсом этого угла, который равен значению производной функции в данной точке. Формула для нахождения угла наклона: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

1. Нахождение точки касания.
По условию, касательная проводится в точке пересечения графика функции с осью ординат. Пересечение с осью ординат происходит при $x = 0$. Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

2. Нахождение производной функции.
Дана функция $f(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{3})$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, согласно которому $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$. В данном случае $u = 2x + \frac{\pi}{3}$, а производная $u' = (2x + \frac{\pi}{3})' = 2$. Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:$f'(x) = -\sin(2x + \frac{\pi}{3}) \cdot 2 = -2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$.

3. Вычисление углового коэффициента касательной.
Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке $x_0 = 0$.$k = f'(0) = -2\sin(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3})$. Из тригонометрии известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем это значение в формулу:$k = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

4. Нахождение угла наклона.
Мы нашли, что тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$. Угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс по определению находится в промежутке $[0, \pi)$. Уравнение $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$ на этом промежутке имеет единственное решение:$\alpha = \frac{2\pi}{3}$. Это соответствует углу в $120^\circ$.

Ответ: касательная наклонена под углом $\frac{2\pi}{3}$ к положительному направлению оси абсцисс.