Номер 27.11, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.11. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\cos^2 x$ в точке с абсциссой $x_0=\frac{\pi}{4}$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения касательной необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке касания $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания $f'(x_0)$.
4. Подставить все найденные значения в формулу уравнения касательной.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в исходную функцию $f(x) = \cos^2 x$:

$f(\frac{\pi}{4}) = \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

2. Найдем производную функции $f(x) = \cos^2 x$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\cdot)^2$ равна $2(\cdot)$, а производная внутренней функции $\cos x$ равна $-\sin x$.

$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$f'(x) = -\sin(2x)$

3. Найдем значение производной в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в найденную производную $f'(x) = -\sin(2x)$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной.

Мы имеем $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = -1$.

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = \frac{1}{2} + (-1)(x - \frac{\pi}{4})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = \frac{1}{2} - x + \frac{\pi}{4}$

27.11. Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.