Номер 27.5, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.5. Найдите угол, который образует кривая $f(x) = x^3 + x^2 - 2$ с осью абсцисс в точке их пересечения.

27.5. Угол, который кривая образует с осью абсцисс в точке их пересечения, равен углу наклона касательной к графику функции в этой точке. Тангенс этого угла $(\tan \alpha)$ равен значению производной функции в точке пересечения.

1. Нахождение точки пересечения.
Чтобы найти точку пересечения кривой $f(x) = x^3 + x^2 - 2$ с осью абсцисс, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 + x^2 - 2 = 0$.
Найдем целые корни уравнения среди делителей свободного члена (-2), которыми являются числа $\pm1, \pm2$. Подставив $x=1$, получаем верное равенство:
$1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.
Следовательно, $x_0 = 1$ является абсциссой точки пересечения. Чтобы убедиться в отсутствии других действительных корней, разделим многочлен на $(x-1)$: $(x^3 + x^2 - 2) \div (x-1) = x^2 + 2x + 2$.
Найдем дискриминант квадратного уравнения $x^2 + 2x + 2 = 0$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, других действительных корней нет. Точка пересечения единственная.

2. Нахождение производной.
Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x^3 + x^2 - 2)' = 3x^2 + 2x$.

3. Вычисление тангенса угла наклона.
Значение производной в точке $x_0 = 1$ равно тангенсу угла наклона касательной: $\tan(\alpha) = f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$.

4. Нахождение угла.
Искомый угол $\alpha$ равен арктангенсу найденного значения.
Ответ: $\arctan(5)$.