Номер 27.3, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $f(x)=\frac{x^2-2}{x^2+2}$ в точке $A\left(-2; \frac{1}{3}\right)$.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке касания равен значению производной функции в этой точке. Геометрический смысл производной выражается формулой: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $k$ - угловой коэффициент касательной, $\alpha$ - угол наклона касательной, а $x_0$ - абсцисса точки касания.

В данной задаче функция $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$, а точка касания $A(-2, \frac{1}{3})$. Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = -2$.

27.3.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \frac{(x^2 - 2)'(x^2 + 2) - (x^2 - 2)(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 2) - (x^2 - 2) \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{2x^3 + 4x - 2x^3 + 4x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{8x}{(x^2 + 2)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = \frac{8 \cdot (-2)}{((-2)^2 + 2)^2} = \frac{-16}{(4 + 2)^2} = \frac{-16}{6^2} = \frac{-16}{36}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$f'(-2) = -\frac{16}{36} = -\frac{4}{9}$

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. Ответ: $-\frac{4}{9}$