Номер 21.6, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.6. Функция $y = f(x)$ нечетная и для $x \ge 0$ задается формулой $f(x) = \sqrt[4]{x} - 1$. Найдите значение выражения $f(-2) - f(-8)$.

По условию, функция $y = f(x)$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Также дано, что для $x \ge 0$ функция задается формулой $f(x) = 4\sqrt{x} - 1$.

Чтобы найти значение выражения $f(-2) - f(-8)$, необходимо сначала вычислить значения функции для каждого из аргументов. Так как аргументы $-2$ и $-8$ отрицательны, мы не можем напрямую применить данную формулу, поэтому воспользуемся свойством нечетности функции.

1. Найдем значение $f(-2)$
Согласно свойству нечетности, $f(-2) = -f(2)$.
Так как $2 > 0$, мы можем вычислить $f(2)$ по заданной формуле:
$f(2) = 4\sqrt{2} - 1$.
Следовательно, $f(-2) = -(4\sqrt{2} - 1) = 1 - 4\sqrt{2}$.

2. Найдем значение $f(-8)$
Аналогично, из свойства нечетности функции имеем $f(-8) = -f(8)$.
Так как $8 > 0$, вычисляем $f(8)$ по формуле:
$f(8) = 4\sqrt{8} - 1$.
Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Тогда $f(8) = 4 \cdot (2\sqrt{2}) - 1 = 8\sqrt{2} - 1$.
Следовательно, $f(-8) = -(8\sqrt{2} - 1) = 1 - 8\sqrt{2}$.

3. Вычислим итоговое выражение $f(-2) - f(-8)$
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$f(-2) - f(-8) = (1 - 4\sqrt{2}) - (1 - 8\sqrt{2})$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1 - 4\sqrt{2} - 1 + 8\sqrt{2} = (1 - 1) + (-4\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.