Номер 11.9, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.9. Используя свойства периодичности функций $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $f(x) = \operatorname{ctg} x$, докажите, что:

а) $\operatorname{tg} 16^\circ = \operatorname{tg} 556^\circ$;

б) $\operatorname{ctg} (-13^\circ) = \operatorname{ctg} 167^\circ$.

Функции $f(x) = \text{tg} \, x$ и $f(x) = \text{ctg} \, x$ являются периодическими с наименьшим положительным периодом $T = 180^\circ$. Это означает, что для любого целого числа $n$ и любого $x$ из области определения функций выполняются следующие равенства:

$\text{tg}(x + 180^\circ \cdot n) = \text{tg} \, x$

$\text{ctg}(x + 180^\circ \cdot n) = \text{ctg} \, x$

Для доказательства данных в задаче равенств воспользуемся этими свойствами.

а) $\text{tg} \, 16^\circ = \text{tg} \, 556^\circ$
Чтобы доказать это равенство, необходимо показать, что аргументы функций отличаются на целое число периодов. Найдем разность аргументов:
$556^\circ - 16^\circ = 540^\circ$.
Теперь разделим полученную разность на величину периода функции тангенса, который равен $180^\circ$:
$\frac{540^\circ}{180^\circ} = 3$.
Поскольку в результате деления мы получили целое число, это означает, что $556^\circ$ можно представить как $16^\circ + 3 \cdot 180^\circ$.
Следовательно, на основании свойства периодичности функции тангенса, мы можем записать:
$\text{tg} \, 556^\circ = \text{tg}(16^\circ + 3 \cdot 180^\circ) = \text{tg} \, 16^\circ$.
Таким образом, равенство $\text{tg} \, 16^\circ = \text{tg} \, 556^\circ$ доказано.
Ответ: равенство верно, так как разность аргументов $540^\circ$ кратна периоду $180^\circ$, и частное от их деления является целым числом: $\frac{540}{180} = \textbf{3}$.

б) $\text{ctg}(-13^\circ) = \text{ctg} \, 167^\circ$
Для доказательства этого равенства воспользуемся свойством периодичности функции котангенса, период которой также равен $180^\circ$. Найдем разность аргументов:
$167^\circ - (-13^\circ) = 167^\circ + 13^\circ = 180^\circ$.
Разделим полученную разность на величину периода функции котангенса:
$\frac{180^\circ}{180^\circ} = 1$.
Поскольку в результате деления мы получили целое число, это означает, что $167^\circ$ можно представить как $-13^\circ + 1 \cdot 180^\circ$.
Следовательно, на основании свойства периодичности функции котангенса, мы можем записать:
$\text{ctg} \, 167^\circ = \text{ctg}(-13^\circ + 1 \cdot 180^\circ) = \text{ctg}(-13^\circ)$.
Таким образом, равенство $\text{ctg}(-13^\circ) = \text{ctg} \, 167^\circ$ доказано.
Ответ: равенство верно, так как разность аргументов $180^\circ$ кратна периоду $180^\circ$, и частное от их деления является целым числом: $\frac{180}{180} = \textbf{1}$.