Номер 11.16, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.16. Постройте график функции $y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\cos x}$.

Для построения графика функции $y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\cos x}$ выполним последовательный анализ.

Упрощение функции и нахождение области определения

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение в знаменателе не должно быть равно нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

• Условие на знаменатель: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Условие на подкоренное выражение: $1 - \cos^2 x \ge 0$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем, что это условие равносильно $\sin^2 x \ge 0$. Данное неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Теперь упростим выражение для функции. Применим основное тригонометрическое тождество и воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$:

$y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\cos x} = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{\cos x} = \frac{|\sin x|}{\cos x}$.

Анализ функции с модулем

Для построения графика необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$.

• Случай 1: $\sin x \ge 0$.
  Это условие выполняется для углов в I и II координатных четвертях, то есть при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
• Случай 2: $\sin x < 0$.
  Это условие выполняется для углов в III и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид: $y = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.

Построение графика

Итак, график искомой функции будет состоять из фрагментов графиков $y=\tan x$ и $y=-\tan x$.

• На интервалах, где синус неотрицателен (I и II четверти), строим график $y = \tan x$.
• На интервалах, где синус отрицателен (III и IV четверти), строим график $y = -\tan x$, который является симметричным отражением графика тангенса относительно оси абсцисс (Ох).

Рассмотрим построение на промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$:

• На интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0]$, $\sin x \le 0$, поэтому строим график $y = -\tan x$.
• На интервале $[0, \frac{\pi}{2})$, $\sin x \ge 0$, поэтому строим $y = \tan x$. Вместе эти два участка на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ образуют график функции $y=|\tan x|$.
• На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi]$, $\sin x \ge 0$, поэтому строим $y = \tan x$.
• На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, $\sin x < 0$, поэтому строим $y = -\tan x$.

Итоговый вид и свойства графика:

• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{|\sin(-x)|}{\cos(-x)} = \frac{|-\sin x|}{\cos x} = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
• Периодичность: Функция является периодической с основным периодом $T=2\pi$.
• Асимптоты: Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются вертикальными асимптотами.
• Нули и изломы: Функция обращается в ноль при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках график имеет изломы (острые углы), так как левая и правая производные в этих точках не совпадают.

График представляет собой бесконечную последовательность ветвей, которые периодически повторяются. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ он совпадает с графиком $y=|\tan x|$. На следующем интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ он состоит из части графика $y=\tan x$ (на $(\frac{\pi}{2}, \pi]$) и части графика $y=-\tan x$ (на $(\pi, \frac{3\pi}{2})$), образуя излом в точке $(\pi, 0)$. Остальные части графика получаются периодическим сдвигом на $2\pi k$.