Номер 11.7, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.7. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $y = \text{tg } 5x;$

б) $y = \text{tg } \frac{x}{7};$

в) $y = \text{ctg } 8x;$

г) $y = \text{ctg } 0,1x.$

а) Для функции $y = \tg 5x$:
Область определения ($D(y)$):
Функция тангенса $y = \tg(t)$ определена, когда ее аргумент $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае аргумент $t = 5x$, следовательно, должно выполняться условие: $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Разделив обе части неравенства на 5, находим значения $x$, которые не входят в область определения: $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$.
Множество значений ($E(y)$):
Множество значений стандартной функции тангенса — это все действительные числа, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Коэффициент 5 при аргументе $x$ сжимает график функции по горизонтали (изменяет период), но не влияет на множество ее значений. Следовательно, множество значений функции — все действительные числа.
Ответ: область определения: $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \tg \frac{x}{7}$:
Область определения ($D(y)$):
Аналогично предыдущему пункту, условие для аргумента тангенса $t = \frac{x}{7}$ имеет вид: $\frac{x}{7} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Умножив обе части на 7, получим: $x \neq \frac{7\pi}{2} + 7\pi n$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$. Таким образом, условие можно записать как $x \neq \mathbf{3}\frac{1}{2}\pi + 7\pi n$.
Множество значений ($E(y)$):
Множество значений функции тангенса — все действительные числа. Коэффициент $\frac{1}{7}$ влияет на период, но не на значения функции. Следовательно, множество значений — $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: область определения: $x \neq \mathbf{3}\frac{1}{2}\pi + 7\pi n, n \in \mathbb{Z}$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \ctg 8x$:
Область определения ($D(y)$):
Функция котангенса $y = \ctg(t)$ определена, когда ее аргумент $t \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $t = 8x$, поэтому должно выполняться условие: $8x \neq \pi n$.
Разделив обе части на 8, получим: $x \neq \frac{\pi n}{8}$.
Множество значений ($E(y)$):
Функция котангенса, как и тангенса, принимает любые действительные значения. Коэффициент 8 при аргументе $x$ влияет только на период, но не на множество значений. Следовательно, множество значений функции — все действительные числа.
Ответ: область определения: $x \neq \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

г) Для функции $y = \ctg 0,1x$:
Область определения ($D(y)$):
Представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной: $0,1 = \frac{1}{10}$. Функция имеет вид $y = \ctg \frac{x}{10}$. Условие для аргумента котангенса $t = \frac{x}{10}$ имеет вид: $\frac{x}{10} \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Умножив обе части на 10, получим: $x \neq 10\pi n$.
Множество значений ($E(y)$):
Множество значений функции котангенса — все действительные числа. Коэффициент 0,1 влияет на период функции, но не на ее значения. Следовательно, множество значений — $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: область определения: $x \neq 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.