Номер 11.10, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.10. Верно ли, что периодом функции $y = 4\mathrm{tg}\left(\frac{\pi x}{6} - 2\right) + 9$ является число:

а) 6;

б) 9;

в) -12;

г) -42?

Для того чтобы определить, являются ли предложенные числа периодами функции $y = 4\tg(\frac{\pi x}{6} - 2) + 9$, необходимо сначала найти ее наименьший положительный (основной) период.

Период функции вида $y = A\tg(kx + b) + C$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период стандартной функции тангенса $y = \tg(x)$, который равен $\pi$.

В данной функции $y = 4\tg(\frac{\pi x}{6} - 2) + 9$ коэффициент при переменной $x$ равен $k = \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим основной период $T$ для этой функции:

$T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{\pi}{6}|} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{6}} = \pi \cdot \frac{6}{\pi} = 6$.

Основной период функции равен 6. Любое число $T_n$ является периодом функции, если оно кратно основному периоду, то есть если $T_n = n \cdot T$ для некоторого ненулевого целого числа $n$. Проверим предложенные варианты, найдя отношение $n = \frac{T_n}{T}$.

а) 6; Найдем отношение предложенного числа к основному периоду: $n = \frac{6}{6} = 1$. Поскольку $n=1$ является целым числом, число 6 является периодом функции. Ответ: верно.

б) 9; Найдем отношение предложенного числа к основному периоду: $n = \frac{9}{6}$. Это неправильная дробь. Преобразуем ее в смешанное число: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Целая часть этого числа равна 1. Поскольку отношение $n = 1.5$ не является целым числом, число 9 не является периодом функции. Ответ: неверно.

в) -12; Найдем отношение предложенного числа к основному периоду: $n = \frac{-12}{6} = -2$. Поскольку $n=-2$ является целым числом, число -12 является периодом функции. Ответ: верно.

г) -42; Найдем отношение предложенного числа к основному периоду: $n = \frac{-42}{6} = -7$. Поскольку $n=-7$ является целым числом, число -42 является периодом функции. Ответ: верно.