Номер 11.11, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.11. Найдите наименьший положительный период функции:

a) $y = \operatorname{tg} 2x$;

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{4}$;

в) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{10}$;

г) $y = \operatorname{tg} \frac{3x}{5}$;

д) $y = 3\operatorname{tg} \left(9x - \frac{\pi}{3}\right)$;

е) $y = 5\operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{12} - \frac{x}{5}\right)$;

ж) $y = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) - 5$;

з) $y = 7\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{10} - \frac{3x}{7}\right) + 1.$

Основной (наименьший положительный) период для функций тангенса $y=\text{tg}(x)$ и котангенса $y=\text{ctg}(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $y=A \cdot f(kx+b)+C$, где $f$ - это тангенс или котангенс, период $T$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

а) В функции $y = \text{tg}\,2x$ коэффициент при $x$ равен $k=2$. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) В функции $y = \text{tg}\,\frac{x}{4}$ коэффициент при $x$ равен $k=\frac{1}{4}$. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{4}|} = 4\pi$. Ответ: $4\pi$.

в) В функции $y = \text{ctg}\,\frac{x}{10}$ коэффициент при $x$ равен $k=\frac{1}{10}$. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{10}|} = 10\pi$. Ответ: $10\pi$.

г) В функции $y = \text{tg}\,\frac{3x}{5}$ коэффициент при $x$ равен $k=\frac{3}{5}$. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{3}{5}|} = \frac{5\pi}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$. Ответ: $\mathbf{1}\frac{2}{3}\pi$.

д) В функции $y = 3\text{tg}\,(9x - \frac{\pi}{3})$ коэффициент при $x$ равен $k=9$. Множитель 3 перед функцией и сдвиг фазы на $-\frac{\pi}{3}$ не влияют на период. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|9|} = \frac{\pi}{9}$. Ответ: $\frac{\pi}{9}$.

е) В функции $y = 5\text{ctg}\,(\frac{\pi}{12} - \frac{x}{5})$ коэффициент при $x$ равен $k=-\frac{1}{5}$. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|-\frac{1}{5}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{5}} = 5\pi$. Ответ: $5\pi$.

ж) В функции $y = \text{ctg}\,(\frac{\pi}{2} - 2x) - 5$ коэффициент при $x$ равен $k=-2$. Сложение константы $-5$ не влияет на период. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

з) В функции $y = 7\text{tg}\,(\frac{\pi}{10} - \frac{3x}{7}) + 1$ коэффициент при $x$ равен $k=-\frac{3}{7}$. Множитель 7 и слагаемое 1 не влияют на период. Следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|-\frac{3}{7}|} = \frac{\pi}{\frac{3}{7}} = \frac{7\pi}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. Ответ: $\mathbf{2}\frac{1}{3}\pi$.