Номер 11.13, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.13. Постройте график функции:

a) $y = \text{tg}2x$;

б) $y = 2\text{ctg}x$;

в) $y = -\frac{1}{2}\text{tg}x$;

г) $y = \frac{1}{3}\text{ctg}2x$;

д) $y = \text{tg}\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$;

е) $y = -\text{ctg}\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right)$.

а) $y = \tg(2x)$

Для построения графика функции $y = \tg(2x)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg(x)$.

1. Исходной функцией является тангенсоида $y = \tg(x)$. Её основной период равен $\pi$, а вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Аргумент функции умножается на 2 (преобразование $x \to 2x$). Это соответствует сжатию графика функции к оси ординат (оси OY) в 2 раза.

В результате этого преобразования:

• Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты смещаются. Их новое положение определяется из условия $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX) находятся в точках $2x=\pi n$, то есть $x=\frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg(2x)$ получается из графика $y = \tg(x)$ путем горизонтального сжатия к оси OY в 2 раза.

б) $y = 2\ctg(x)$

Для построения графика функции $y = 2\ctg(x)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \ctg(x)$.

1. Исходной функцией является котангенсоида $y = \ctg(x)$. Её основной период равен $\pi$, а вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Значение функции умножается на 2 (преобразование $y \to 2y$). Это соответствует растяжению графика вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза от оси OX.

В результате этого преобразования:

• Период и положение асимптот не изменяются.
• Каждая ордината графика умножается на 2. Например, если для $y = \ctg(x)$ в точке $x = \frac{\pi}{4}$ значение было $y=1$, то для $y=2\ctg(x)$ в этой же точке значение будет $y=2$.

Ответ: График функции $y = 2\ctg(x)$ получается из графика $y = \ctg(x)$ путем вертикального растяжения от оси OX в 2 раза.

в) $y = -\frac{1}{2}\tg(x)$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\tg(x)$ необходимо выполнить последовательность преобразований графика базовой функции $y = \tg(x)$.

1. Берем график базовой функции $y = \tg(x)$.
2. Выполняем сжатие графика вдоль оси OY в 2 раза (умножение на коэффициент $\frac{1}{2}$). Получаем промежуточный график $y = \frac{1}{2}\tg(x)$.
3. Выполняем симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс (оси OX) из-за знака минус.

В результате этих преобразований:

• Период ($\pi$) и положение асимптот ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) не изменяются.
• Функция становится убывающей на всей области определения (в отличие от возрастающей функции $y=\tg(x)$).
• Значения функции по модулю в 2 раза меньше, чем у $y=\tg(x)$. Например, в точке $x = \frac{\pi}{4}$ значение будет $y = -\frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\tg(x)$ получается из графика $y = \tg(x)$ путем вертикального сжатия к оси OX в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси OX.

г) $y = \frac{1}{3}\ctg(2x)$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}\ctg(2x)$ необходимо выполнить последовательность преобразований графика базовой функции $y = \ctg(x)$.

1. Берем график базовой функции $y = \ctg(x)$.
2. Выполняем сжатие графика к оси OY в 2 раза (преобразование $x \to 2x$). Период уменьшается до $T = \frac{\pi}{2}$, асимптоты теперь находятся в точках $x = \frac{\pi n}{2}$. Получаем график $y = \ctg(2x)$.
3. Выполняем сжатие полученного графика вдоль оси OY в 3 раза (умножение на $\frac{1}{3}$).

В результате этих преобразований:

• Период функции равен $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}\ctg(2x)$ получается из графика $y = \ctg(x)$ путем горизонтального сжатия к оси OY в 2 раза и вертикального сжатия к оси OX в 3 раза.

д) $y = \tg(2x - \frac{\pi}{3})$

Для построения графика преобразуем выражение: $y = \tg(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Построение выполняется в несколько шагов на основе графика $y = \tg(x)$.

1. Берем график базовой функции $y = \tg(x)$.
2. Сжимаем его к оси OY в 2 раза, получая график функции $y = \tg(2x)$. Период становится $T=\frac{\pi}{2}$, асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
3. Сдвигаем полученный график вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$.

В результате этих преобразований:

• Период функции равен $T = \frac{\pi}{2}$.
• Асимптоты смещаются на $\frac{\pi}{6}$ вправо: $x = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.
• Нули функции также смещаются на $\frac{\pi}{6}$ вправо: $x = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: График функции $y = \tg(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \tg(x)$ путем сжатия к оси OY в 2 раза и последующего сдвига вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$.

е) $y = -\ctg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})$

Для построения графика преобразуем выражение: $y = -\ctg(\frac{1}{3}(x - \frac{\pi}{4}))$. Построение выполняется в несколько шагов на основе графика $y = \ctg(x)$.

1. Берем график базовой функции $y = \ctg(x)$.
2. Растягиваем его от оси OY в 3 раза (преобразование $x \to \frac{x}{3}$), получая график $y = \ctg(\frac{x}{3})$. Период становится $T = 3\pi$, асимптоты $x = 3\pi n$.
3. Сдвигаем полученный график вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$. Получаем график $y = \ctg(\frac{1}{3}(x - \frac{\pi}{4}))$. Асимптоты смещаются в точки $x = \frac{\pi}{4} + 3\pi n$.
4. Отражаем полученный график симметрично относительно оси OX из-за знака минус.

В результате этих преобразований:

• Период функции равен $T = 3\pi$.
• Функция становится возрастающей на каждом интервале области определения.
• Асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies \frac{x}{3} = \frac{7\pi}{12} + \pi n \implies x = \frac{7\pi}{4} + 3\pi n$.

Ответ: График функции $y = -\ctg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})$ получается из графика $y = \ctg(x)$ путем растяжения от оси OY в 3 раза, сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$ и последующего отражения относительно оси OX.