Номер 11.3, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.3. Найдите $f(x_0)$, если:

а) $f(x) = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

б) $f(x) = -3\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

в) $f(x) = \sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 5, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

г) $f(x) = 2 - \operatorname{ctg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right), x_0 = \frac{7\pi}{6}$.

а) Чтобы найти $f(x_0)$, нужно подставить значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$ в исходное уравнение функции $f(x) = \text{tg}(x + \frac{\pi}{6}) + 1$.
Выполняем подстановку и вычисляем:
$f(\frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 1 = \text{tg}(\frac{2\pi}{6}) + 1 = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) + 1$.
Так как значение тангенса $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, то получаем:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + 1$.
Ответ: $\sqrt{3} + 1$.

б) Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в функцию $f(x) = -3\text{ctg}(x - \frac{\pi}{4}) - 1$.
Выполняем вычисления:
$f(\frac{\pi}{2}) = -3\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - 1 = -3\text{ctg}(\frac{2\pi - \pi}{4}) - 1 = -3\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 1$.
Значение котангенса $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $f(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 1 - 1 = -4$.
Ответ: -4.

в) Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в функцию $f(x) = \sqrt{3}\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}) - 5$.
Выполняем вычисления:
$f(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3}\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3}\text{tg}(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) - 5 = \sqrt{3}\text{tg}(\frac{\pi}{6}) - 5$.
Значение тангенса $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, $f(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 5 = 1 - 5 = -4$.
Ответ: -4.

г) Подставим значение $x_0 = \frac{7\pi}{6}$ в функцию $f(x) = 2 - \text{ctg}(x - \frac{2\pi}{3})$.
Выполняем вычисления:
$f(\frac{7\pi}{6}) = 2 - \text{ctg}(\frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3}) = 2 - \text{ctg}(\frac{7\pi - 4\pi}{6}) = 2 - \text{ctg}(\frac{3\pi}{6}) = 2 - \text{ctg}(\frac{\pi}{2})$.
Значение котангенса $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Следовательно, $f(\frac{7\pi}{6}) = 2 - 0 = 2$.
Ответ: 2.