Номер 12.2, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.2. Найдите значение выражения:

$ \arcsin 1 - 2 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

$ \operatorname{ctg}\left(2 \operatorname{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right)\right) + \cos\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

$ \cos\left(3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

$ \cos\left(\operatorname{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right) + \operatorname{arctg}\left(-\sqrt{3}\right) + \arcsin 0,5\right). $

а) $arcsin(1) - 2arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Сначала найдем значения обратных тригонометрических функций по отдельности, учитывая их области значений:

• Арксинус — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен заданному числу. Следовательно, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

• Арккосинус — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен заданному числу. Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$arcsin(1) - 2arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \frac{3\pi}{4}$

Упростим выражение:

$\frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 3\pi}{2} = \frac{-2\pi}{2} = -\pi$

Ответ: $-\pi$.

б) $ctg(2arcctg(-\sqrt{3})) + cos(\frac{1}{2}arcsin\frac{\sqrt{3}}{2})$

Решим это выражение по частям.

Часть 1: $ctg(2arcctg(-\sqrt{3}))$

Арккотангенс — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен заданному числу. Найдем значение $arcctg(-\sqrt{3})$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$

Подставим это значение:

$ctg(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = ctg(\frac{5\pi}{3})$

Вычислим котангенс:

$ctg(\frac{5\pi}{3}) = ctg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = ctg(-\frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Часть 2: $cos(\frac{1}{2}arcsin\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем значение $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Арксинус угла находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$

Подставим это значение:

$cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{6})$

Вычислим косинус:

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сложим результаты обеих частей:

$-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

в) $cos(3arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + arccos(-\frac{1}{2}))$

Сначала вычислим значение выражения в скобках, которое является аргументом косинуса.

Найдем значения обратных тригонометрических функций:

• $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$

• $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$

Подставим эти значения в аргумент косинуса:

$3 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

Теперь вычислим косинус от полученного угла:

$cos(\frac{5\pi}{3}) = cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $cos(arcctg(-\sqrt{3}) + arctg(-\sqrt{3}) + arcsin(0,5))$

Для решения этого выражения воспользуемся тригонометрическим тождеством $arcctg(x) + arctg(x) = \frac{\pi}{2}$.

Применим это тождество для $x = -\sqrt{3}$:

$arcctg(-\sqrt{3}) + arctg(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2}$

Теперь найдем значение оставшегося члена, учитывая что $0,5 = \frac{1}{2}$:

$arcsin(0,5) = arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

Сложим полученные значения, чтобы найти аргумент косинуса:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

Наконец, вычислим косинус от этого угла:

$cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.