Номер 12.6, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.6. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $\arcsin \frac{3}{4}$, $\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)$, $\arcsin \frac{1}{3}$;

б) $\arccos \frac{1}{2}$, $\arccos \left(-\frac{1}{10}\right)$, $\arccos \frac{\pi}{4}$.

а) Чтобы расположить числа $\arcsin{\frac{3}{4}}$, $\arcsin{(-\frac{2}{5})}$, $\arcsin{\frac{1}{3}}$ в порядке возрастания, воспользуемся свойством функции $y=\arcsin(x)$. Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения, отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Следовательно, нам нужно сравнить аргументы: $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{3}$.
Расположим аргументы в порядке возрастания:
1. Наименьшим является отрицательное число $-\frac{2}{5}$.
2. Сравним положительные дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$
Поскольку $\frac{4}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.
Таким образом, аргументы в порядке возрастания располагаются так: $-\frac{2}{5} < \frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.
Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, порядок для значений арксинусов будет таким же.
Ответ: $\arcsin(-\frac{2}{5})$, $\arcsin(\frac{1}{3})$, $\arcsin(\frac{3}{4})$.

б) Чтобы расположить числа $\arccos{\frac{1}{2}}$, $\arccos{(-\frac{1}{10})}$, $\arccos{\frac{\pi}{4}}$ в порядке возрастания, воспользуемся свойством функции $y=\arccos(x)$. Эта функция является строго убывающей на всей своей области определения, отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции.
Сравним аргументы: $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{10}$ и $\frac{\pi}{4}$. Все они принадлежат области определения $[-1, 1]$, так как $\pi \approx 3.14$, и, следовательно, $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, что находится в интервале $[-1, 1]$.
Расположим аргументы в порядке возрастания:
1. Наименьшим является отрицательное число $-\frac{1}{10}$.
2. Сравним положительные числа $\frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{4}$.
$\frac{1}{2} = 0.5$.
$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
Поскольку $0.5 < 0.785$, то $\frac{1}{2} < \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, аргументы в порядке возрастания располагаются так: $-\frac{1}{10} < \frac{1}{2} < \frac{\pi}{4}$.
Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, порядок для значений арккосинусов будет обратным: $\arccos(-\frac{1}{10}) > \arccos(\frac{1}{2}) > \arccos(\frac{\pi}{4})$.
Запишем числа в порядке возрастания (от меньшего к большему): $\arccos(\frac{\pi}{4}) < \arccos(\frac{1}{2}) < \arccos(-\frac{1}{10})$.
Ответ: $\arccos(\frac{\pi}{4})$, $\arccos(\frac{1}{2})$, $\arccos(-\frac{1}{10})$.