Номер 12.5, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.5. Найдите множество значений функции:

a) $y = 4\pi - \arccos x;$

б) $y = \frac{\pi}{10} - \text{arcctg}x;$

в) $y = \text{arctg}x + \frac{\pi}{12};$

г) $y = 3\arccos x - \frac{7\pi}{18}.$

а) Чтобы найти множество значений функции $y = 4\pi - \arccos x$, необходимо отталкиваться от множества значений стандартной функции $\arccos x$.
Множество значений для $\arccos x$ — это отрезок $[0; \pi]$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$0 \le \arccos x \le \pi$
Далее, выполним преобразования с этим неравенством. Сначала умножим все его части на $-1$, что приведет к изменению знаков неравенства на противоположные:
$-\pi \le -\arccos x \le 0$
Теперь прибавим $4\pi$ ко всем частям:
$4\pi - \pi \le 4\pi - \arccos x \le 4\pi + 0$
Упрощая, получаем итоговое неравенство для $y$:
$3\pi \le y \le 4\pi$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[3\pi; 4\pi]$. Ответ: $[\textbf{3}\pi; \textbf{4}\pi]$.

б) Для функции $y = \frac{\pi}{10} - \operatorname{arcctg} x$ начнем с множества значений функции $\operatorname{arcctg} x$, которое является интервалом $(0; \pi)$.
Запишем это в виде строгого двойного неравенства:
$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$
Умножим все части на $-1$ и поменяем знаки неравенства:
$-\pi < -\operatorname{arcctg} x < 0$
Прибавим $\frac{\pi}{10}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{10} - \pi < \frac{\pi}{10} - \operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{10} + 0$
Вычислим левую границу: $\frac{\pi}{10} - \pi = \frac{\pi - 10\pi}{10} = -\frac{9\pi}{10}$.
В итоге получаем:
$-\frac{9\pi}{10} < y < \frac{\pi}{10}$
Следовательно, множество значений функции — это интервал $(-\frac{9\pi}{10}; \frac{\pi}{10})$. Ответ: $(-\frac{9\pi}{10}; \frac{\pi}{10})$.

в) Множество значений функции $y = \operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{12}$ находится на основе множества значений $\operatorname{arctg} x$, которое представляет собой интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Запишем в виде неравенства:
$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$
Прибавим $\frac{\pi}{12}$ ко всем частям:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} < \operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12 и вычислим границы:
$-\frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} < y < \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12}$
$-\frac{5\pi}{12} < y < \frac{7\pi}{12}$
Следовательно, множество значений функции — это интервал $(-\frac{5\pi}{12}; \frac{7\pi}{12})$. Ответ: $(-\frac{5\pi}{12}; \frac{7\pi}{12})$.

г) Для нахождения множества значений функции $y = 3\arccos x - \frac{7\pi}{18}$ снова обратимся к множеству значений $\arccos x$, то есть к отрезку $[0; \pi]$.
Запишем неравенство:
$0 \le \arccos x \le \pi$
Сначала умножим все части на 3:
$0 \le 3\arccos x \le 3\pi$
Затем вычтем $\frac{7\pi}{18}$ из всех частей:
$0 - \frac{7\pi}{18} \le 3\arccos x - \frac{7\pi}{18} \le 3\pi - \frac{7\pi}{18}$
Вычислим правую границу: $3\pi - \frac{7\pi}{18} = \frac{54\pi}{18} - \frac{7\pi}{18} = \frac{47\pi}{18}$.
Получаем неравенство для $y$:
$-\frac{7\pi}{18} \le y \le \frac{47\pi}{18}$
Дробь $\frac{47}{18}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{47}{18} = 2\frac{11}{18}$.
Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-\frac{7\pi}{18}; 2\frac{11}{18}\pi]$. Ответ: $[-\frac{7\pi}{18}; \textbf{2}\frac{11}{18}\pi]$.