Номер 10.1, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.1. Определите, принадлежит ли графику функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 1$ точка:

а) $A(0, 0,5);$

б) $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{1}{2});$

в) $C(\frac{\pi}{6}; 1 - \frac{\sqrt{3}}{2});$

г) $D(4\pi; 1,5).$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 1$. Если в результате подстановки $x_0$ в правую часть уравнения получится значение $y_0$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) Для точки $A(0; 0,5)$ проверим, выполняется ли равенство. Подставим её координаты $x = 0$ и $y = 0,5$ в уравнение функции. Вычислим значение функции при $x=0$: $y = -\sin(0 + \frac{\pi}{6}) + 1 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 1$. Так как значение синуса $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0,5$, получаем $y = -0,5 + 1 = 0,5$. Полученное значение $y=0,5$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: точка $A(0; 0,5)$ принадлежит графику функции.

б) Для точки $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{1}{2})$ проверим, выполняется ли равенство. Подставим её координаты $x = \frac{2\pi}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ в уравнение функции. Вычислим значение функции при $x=\frac{2\pi}{3}$: $y = -\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + 1$. Сначала приведем дроби в аргументе синуса к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Тогда уравнение примет вид: $y = -\sin(\frac{5\pi}{6}) + 1$. Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, находим: $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставляем это значение обратно: $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. Полученное значение $y=\frac{1}{2}$ совпадает с ординатой точки $B$. Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: точка $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{1}{2})$ принадлежит графику функции.

в) Для точки $C(\frac{\pi}{6}; 1-\frac{\sqrt{3}}{2})$ проверим, выполняется ли равенство. Подставим её координаты $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в уравнение функции. Вычислим значение функции при $x=\frac{\pi}{6}$: $y = -\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 1 = -\sin(\frac{2\pi}{6}) + 1 = -\sin(\frac{\pi}{3}) + 1$. Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$. Полученное значение $y=1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ совпадает с ординатой точки $C$. Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: точка $C(\frac{\pi}{6}; 1-\frac{\sqrt{3}}{2})$ принадлежит графику функции.

г) Для точки $D(4\pi; 1,5)$ проверим, выполняется ли равенство. Подставим её координаты $x = 4\pi$ и $y = 1,5$ в уравнение функции. Вычислим значение функции при $x=4\pi$: $y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 1$. Функция синус является периодической с периодом $2\pi$, поэтому $\sin(4\pi + \alpha) = \sin(2 \cdot 2\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае: $y = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 1$. Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0,5$, получаем $y = -0,5 + 1 = 0,5$. Полученное значение $y=0,5$ не совпадает с ординатой точки $D$, которая равна $1,5$. Так как $0,5 \neq 1,5$, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: точка $D(4\pi; 1,5)$ не принадлежит графику функции.