Номер 10.2, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.2. Верно ли, что график функции $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ проходит через точку:

а) $A\left(\frac{\pi}{4}; 3\right)$;

б) $B\left(-\frac{3\pi}{4}; -1\right)$;

в) $C\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$;

г) $D\left(\frac{7\pi}{12}; 2\right)$?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ через указанную точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции и проверить, выполняется ли полученное равенство.

Подставляем координаты точки $A$ ($x = \frac{\pi}{4}$, $y = 3$) в уравнение функции:

$3 = 2\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 1$

$3 = 2\cos(0) + 1$

Так как значение $\cos(0) = 1$, получаем:

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

$3 = 3$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $A$. Ответ: Верно.

Подставляем координаты точки $B$ ($x = -\frac{3\pi}{4}$, $y = -1$) в уравнение функции:

$-1 = 2\cos(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 1$

$-1 = 2\cos(-\frac{4\pi}{4}) + 1$

$-1 = 2\cos(-\pi) + 1$

Используя свойство четности функции косинус ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и зная, что $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$-1 = 2 \cdot (-1) + 1$

$-1 = -2 + 1$

$-1 = -1$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $B$. Ответ: Верно.

Подставляем координаты точки $C$ ($x = \frac{\pi}{4}$, $y = 1$) в уравнение функции:

$1 = 2\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 1$

$1 = 2\cos(0) + 1$

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$1 = 2 \cdot 1 + 1$

$1 = 3$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку $C$. Ответ: Неверно.

Подставляем координаты точки $D$ ($x = \frac{7\pi}{12}$, $y = 2$) в уравнение функции:

$2 = 2\cos(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{4}) + 1$

Сначала упростим выражение в аргументе косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$2 = 2\cos(\frac{\pi}{3}) + 1$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1$

$2 = 1 + 1$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $D$. Ответ: Верно.