Номер 6.6, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.6. Запишите все углы $ \alpha $, для которых точка $ P_{\alpha} $ совпадает с точкой:

а) $ P_{0^{\circ}} $;

б) $ P_{-135^{\circ}} $;

в) $ P_{\frac{\pi}{6}} $;

г) $ P_{-\frac{\pi}{2}} $.

Для того чтобы точка $P_\alpha$ совпадала с точкой $P_\beta$ на тригонометрической окружности, необходимо, чтобы их углы отличались на целое число полных оборотов. Один полный оборот равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Следовательно, все углы $\alpha$, удовлетворяющие этому условию, можно найти по общей формуле, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

• Для углов в градусах: $\alpha = \beta + 360^\circ \cdot k$
• Для углов в радианах: $\alpha = \beta + 2\pi k$

Применим эти формулы для каждого из заданных пунктов.

а) $P_{0^\circ}$
Заданная точка соответствует углу $\beta = 0^\circ$. Чтобы найти все углы $\alpha$, для которых точка $P_\alpha$ совпадает с $P_{0^\circ}$, подставляем значение $\beta$ в формулу для градусов: $\alpha = 0^\circ + 360^\circ \cdot k$. Упрощая, получаем итоговую формулу.
Ответ: $\alpha = 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $P_{-135^\circ}$
Заданная точка соответствует углу $\beta = -135^\circ$. Используем формулу для градусов, чтобы найти все углы $\alpha$, соответствующие этой же точке: $\alpha = -135^\circ + 360^\circ \cdot k$.
Ответ: $\alpha = -135^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $P_{\frac{\pi}{6}}$
Здесь угол задан в радианах: $\beta = \frac{\pi}{6}$. Используем формулу для радиан, чтобы найти все углы $\alpha$, соответствующие этой же точке: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $P_{\frac{\pi}{2}}$
Угол равен $\beta = \frac{\pi}{2}$ радиан. Применяем соответствующую формулу для радиан, чтобы найти все углы $\alpha$, соответствующие этой же точке: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.