Номер 6.3, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.3. На единичной окружности отмечены точки $P_{\alpha}$, $P_{\beta}$ и $P_{\gamma}$, соответствующие углам поворота $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ (рис. 39). Определите:

а) градусные меры углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, если известно, что они заключены в промежутке от $-360^{\circ}$ до $0^{\circ}$;

б) радианные меры углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, если известно, что они заключены в промежутке от $2\pi$ до $4\pi$;

в) градусные и радианные меры всех таких углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Рис. 39

Для решения задачи сначала определим основные (наименьшие положительные) углы поворота, соответствующие точкам $P_{\alpha}$, $P_{\beta}$ и $P_{\gamma}$ на единичной окружности, изображенной на рисунке.

• Точка $P_{\alpha}$ находится в I координатной четверти. Судя по рисунку, она соответствует углу, делящему эту четверть пополам, то есть основной угол равен $45^{\circ}$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан.
• Точка $P_{\beta}$ находится во II координатной четверти и симметрична точке $P_{\alpha}$ относительно оси $Oy$. Следовательно, соответствующий ей основной угол равен $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ или $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ радиан.
• Точка $P_{\gamma}$ находится на отрицательной части оси $Oy$. Соответствующий ей основной угол равен $270^{\circ}$ или $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Все множество углов, соответствующих одной точке на окружности, можно найти, прибавляя к основному углу целое число полных оборотов ($360^{\circ} \cdot k$ или $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

а) градусные меры углов $\alpha, \beta$ и $\gamma$, если известно, что они заключены в промежутке от $-360^{\circ}$ до $0^{\circ}$;

Найдём значения углов в промежутке $[-360^{\circ}, 0^{\circ}]$, используя общие формулы с целым числом $k$.

• Для угла $\alpha = 45^{\circ} + 360^{\circ}k$:
  $-360^{\circ} \le 45^{\circ} + 360^{\circ}k \le 0^{\circ} \implies -405^{\circ} \le 360^{\circ}k \le -45^{\circ} \implies -1.125 \le k \le -0.125$
  Единственное целое $k$ в данном промежутке — это $k=-1$. Тогда $\alpha = 45^{\circ} - 360^{\circ} = -315^{\circ}$.
• Для угла $\beta = 135^{\circ} + 360^{\circ}k$:
  $-360^{\circ} \le 135^{\circ} + 360^{\circ}k \le 0^{\circ} \implies -495^{\circ} \le 360^{\circ}k \le -135^{\circ} \implies -1.375 \le k \le -0.375$
  Единственное целое $k = -1$. Тогда $\beta = 135^{\circ} - 360^{\circ} = -225^{\circ}$.
• Для угла $\gamma = 270^{\circ} + 360^{\circ}k$:
  $-360^{\circ} \le 270^{\circ} + 360^{\circ}k \le 0^{\circ} \implies -630^{\circ} \le 360^{\circ}k \le -270^{\circ} \implies -1.75 \le k \le -0.75$
  Единственное целое $k = -1$. Тогда $\gamma = 270^{\circ} - 360^{\circ} = -90^{\circ}$.

Ответ: $\alpha = -315^{\circ}, \beta = -225^{\circ}, \gamma = -90^{\circ}$.

б) радианные меры углов $\alpha, \beta$ и $\gamma$, если известно, что они заключены в промежутке от $2\pi$ до $4\pi$;

Найдём значения углов в промежутке $[2\pi, 4\pi]$.

• Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
  $2\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 4\pi \implies 2 \le \frac{1}{4} + 2k \le 4 \implies 1.75 \le 2k \le 3.75 \implies 0.875 \le k \le 1.875$
  Единственное целое $k = 1$. Тогда $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.
• Для угла $\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
  $2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 4\pi \implies 2 \le \frac{3}{4} + 2k \le 4 \implies 1.25 \le 2k \le 3.25 \implies 0.625 \le k \le 1.625$
  Единственное целое $k = 1$. Тогда $\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.
• Для угла $\gamma = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$:
  $2\pi \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le 4\pi \implies 2 \le \frac{3}{2} + 2k \le 4 \implies 0.5 \le 2k \le 2.5 \implies 0.25 \le k \le 1.25$
  Единственное целое $k = 1$. Тогда $\gamma = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$.

Ответ: $\alpha = \frac{9\pi}{4} = \mathbf{2}\frac{1}{4}\pi$, $\beta = \frac{11\pi}{4} = \mathbf{2}\frac{3}{4}\pi$, $\gamma = \frac{7\pi}{2} = \mathbf{3}\frac{1}{2}\pi$.

в) градусные и радианные меры всех таких углов $\alpha, \beta$ и $\gamma$.

Общие формулы для всех углов, соответствующих данным точкам, записываются путем добавления к основному углу целого числа полных оборотов ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ:

• $\alpha = 45^{\circ} + 360^{\circ}k$ или $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\beta = 135^{\circ} + 360^{\circ}k$ или $\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\gamma = 270^{\circ} + 360^{\circ}k$ или $\gamma = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.