Номер 5.10, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.10. Сократите дробь:

а) $\frac{3x^2 + 12x + 9}{x^6 + 6x^3 + 5};$

б) $\frac{x^6 + x^4 + x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1}.$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{3x^2+12x+9}{x^6+6x^3+5} $, разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $3x^2+12x+9$. Вынесем за скобки общий множитель 3:

$3(x^2+4x+3)$

Теперь разложим квадратный трёхчлен $x^2+4x+3$. Для этого найдём корни уравнения $x^2+4x+3=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно 3. Следовательно, корни равны $x_1=-1$ и $x_2=-3$.

Тогда $x^2+4x+3 = (x - (-1))(x - (-3)) = (x+1)(x+3)$.

Таким образом, числитель дроби равен $3(x+1)(x+3)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^6+6x^3+5$. Это выражение можно рассматривать как квадратное относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y=x^3$. Получим квадратный трёхчлен $y^2+6y+5$.

Найдём корни уравнения $y^2+6y+5=0$. По теореме Виета, корни равны $y_1=-1$ и $y_2=-5$.

Следовательно, $y^2+6y+5=(y+1)(y+5)$.

Выполнив обратную замену $y=x^3$, получим: $(x^3+1)(x^3+5)$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ для разложения множителя $(x^3+1)$:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.

Таким образом, знаменатель дроби равен $(x+1)(x^2-x+1)(x^3+5)$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $(x+1)$:

$ \frac{3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x^2-x+1)(x^3+5)} = \frac{3(x+3)}{(x^2-x+1)(x^3+5)} $

Полученная дробь является правильной, так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (5). Целая часть такой дроби равна 0.

Ответ: $ \frac{3(x+3)}{(x^2-x+1)(x^3+5)} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^6+x^4+x^2+1}{x^3+x^2+x+1} $, разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $x^6+x^4+x^2+1$ методом группировки слагаемых:

$ (x^6+x^4)+(x^2+1) = x^4(x^2+1)+1(x^2+1) = (x^4+1)(x^2+1) $

2. Разложим на множители знаменатель $x^3+x^2+x+1$ также методом группировки:

$ (x^3+x^2)+(x+1) = x^2(x+1)+1(x+1) = (x+1)(x^2+1) $

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $(x^2+1)$:

$ \frac{(x^4+1)(x^2+1)}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{x^4+1}{x+1} $

4. Полученная дробь является неправильной, так как степень числителя (4) больше степени знаменателя (1). Необходимо выделить целую часть. Для этого разделим многочлен $x^4+1$ на многочлен $x+1$ столбиком.

В результате деления получаем целую часть $x^3-x^2+x-1$ и остаток 2.

Таким образом, дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби:

$ \frac{x^4+1}{x+1} = x^3-x^2+x-1 + \frac{2}{x+1} $

Ответ: $x^3-x^2+x-1 + \frac{2}{x+1}$