Номер 6.2, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.2. Отметьте на единичной окружности точку, которая получится при повороте точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол:

а) $60^\circ$; $-150^\circ$; $540^\circ$; $-315^\circ$; $720^\circ$; $-1110^\circ$;

б) $\frac{\pi}{4}$; $\frac{2\pi}{3}$; $-\frac{7\pi}{6}$; $5\pi$; $-1,8\pi$; $3,5\pi$;

в) 1 рад; -2 рад; 3,5 рад; -4 рад; 6 рад;

-10 рад.

Для того чтобы отметить на единичной окружности точку, которая получится при повороте точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на заданный угол, мы будем следовать следующим правилам:

• Начальная точка $P_0(1; 0)$ соответствует углу $0^\circ$ или $0$ радиан и расположена на положительной части оси Ox.
• Положительный угол означает поворот против часовой стрелки.
• Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке.
• Полный оборот составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Если угол по модулю больше $360^\circ$ (или $2\pi$ рад), мы можем найти его конечное положение, отбросив целое число полных оборотов. Угол $\alpha$ и угол $\alpha + k \cdot 360^\circ$ (или $\alpha + k \cdot 2\pi$ для радиан), где $k$ - любое целое число, соответствуют одной и той же точке на окружности.

Координатные четверти на единичной окружности определяются следующим образом:

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\pi/2$ рад)
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\pi/2$ до $\pi$ рад)
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $3\pi/2$ рад)
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $3\pi/2$ до $2\pi$ рад)

1. а)

   Рассмотрим углы, заданные в градусах:

   • $60^\circ$: Положительный угол. Поворот против часовой стрелки. Так как $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$, точка будет находиться в I четверти.
   • $-150^\circ$: Отрицательный угол. Поворот по часовой стрелке. Так как $-180^\circ < -150^\circ < -90^\circ$, точка будет находиться в III четверти. Эквивалентный положительный угол: $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$.
   • $540^\circ$: Положительный угол, больше $360^\circ$. Выделим целое число оборотов. Количество оборотов $k$ равно целой части от деления $540/360$, то есть $k=1$. $540^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 180^\circ$. После одного полного оборота против часовой стрелки точка поворачивается еще на $180^\circ$. Конечное положение совпадает с точкой для угла $180^\circ$ и находится на отрицательной части оси Ox (точка с координатами $(-1; 0)$).
   • $-315^\circ$: Отрицательный угол. Поворот по часовой стрелке. Так как $-360^\circ < -315^\circ < -270^\circ$, точка будет находиться в I четверти. Эквивалентный положительный угол: $-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ$.
   • $720^\circ$: Положительный угол. $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 0^\circ$. Это два полных оборота против часовой стрелки. Точка вернется в свое начальное положение $P_0(1; 0)$ на положительной части оси Ox.
   • $-1110^\circ$: Отрицательный угол. Выделим целое число оборотов. $k = \text{trunc}(\frac{-1110}{360}) = \text{trunc}(-3.083...) = -3$. Итак, $-1110^\circ = -3 \cdot 360^\circ - 30^\circ$. После трех полных оборотов по часовой стрелке точка поворачивается еще на $-30^\circ$. Конечное положение совпадает с точкой для угла $-30^\circ$, которая находится в IV четверти.

   Ответ: $60^\circ$ - I четверть; $-150^\circ$ - III четверть; $540^\circ$ - на отрицательной части оси Ox, целая часть числа оборотов: 1; $-315^\circ$ - I четверть; $720^\circ$ - в начальной точке $P_0(1; 0)$, целая часть числа оборотов: 2; $-1110^\circ$ - IV четверть, целая часть числа оборотов: -3.

2. б)

   Рассмотрим углы, заданные в радианах (как доли $\pi$):

   • $\frac{\pi}{4}$: Положительный угол. Так как $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I четверти.
   • $\frac{2\pi}{3}$: Положительный угол. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$, точка находится во II четверти.
   • $-\frac{7\pi}{6}$: Отрицательный угол. Так как $-\frac{3\pi}{2} < -\frac{7\pi}{6} < -\pi$, точка находится во II четверти. Эквивалентный положительный угол: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6}$.
   • $5\pi$: Положительный угол. $5\pi = 2 \cdot 2\pi + \pi$. После двух полных оборотов против часовой стрелки точка поворачивается еще на $\pi$ ($180^\circ$). Конечное положение совпадает с точкой для угла $\pi$ и находится на отрицательной части оси Ox.
   • $-1,8\pi$: Отрицательный угол. Так как $-2\pi < -1,8\pi < -\frac{3\pi}{2}$, точка находится в I четверти. Эквивалентный положительный угол: $-1,8\pi + 2\pi = 0,2\pi$.
   • $3,5\pi$: Положительный угол. $3,5\pi = 1 \cdot 2\pi + 1,5\pi$. После одного полного оборота против часовой стрелки точка поворачивается еще на $1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$ ($270^\circ$). Конечное положение совпадает с точкой для угла $\frac{3\pi}{2}$ и находится на отрицательной части оси Oy (точка с координатами $(0; -1)$).

   Ответ: $\frac{\pi}{4}$ - I четверть; $\frac{2\pi}{3}$ - II четверть; $-\frac{7\pi}{6}$ - II четверть; $5\pi$ - на отрицательной части оси Ox, целая часть числа оборотов: 2; $-1,8\pi$ - I четверть; $3,5\pi$ - на отрицательной части оси Oy, целая часть числа оборотов: 1.

3. в)

   Рассмотрим углы, заданные в радианах (десятичные числа). Будем использовать приближения: $\pi \approx 3,14$; $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$.

   • $1$ рад: Положительный угол. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, точка находится в I четверти.
   • $-2$ рад: Отрицательный угол. Так как $-\pi \approx -3,14 < -2 < -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$, точка находится в III четверти.
   • $3,5$ рад: Положительный угол. Так как $\pi \approx 3,14 < 3,5 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, точка находится в III четверти.
   • $-4$ рад: Отрицательный угол. Так как $-\frac{3\pi}{2} \approx -4,71 < -4 < -\pi \approx -3,14$, точка находится во II четверти.
   • $6$ рад: Положительный угол. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71 < 6 < 2\pi \approx 6,28$, точка находится в IV четверти.
   • $-10$ рад: Отрицательный угол, по модулю больше $2\pi \approx 6,28$. Выделим целое число оборотов. $k = \text{trunc}(\frac{-10}{2\pi}) = \text{trunc}(\frac{-10}{6,28...}) = \text{trunc}(-1,59...) = -1$. Итак, сделан один полный оборот по часовой стрелке. Конечное положение точки совпадает с положением для угла $2\pi - 10 \approx -3,72$ рад. Так как $-\frac{3\pi}{2} \approx -4,71 < -3,72 < -\pi \approx -3,14$, точка находится во II четверти.

   Ответ: $1$ рад - I четверть; $-2$ рад - III четверть; $3,5$ рад - III четверть; $-4$ рад - II четверть; $6$ рад - IV четверть; $-10$ рад - II четверть, целая часть числа оборотов: -1.