Номер 6.11, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.11. На единичной окружности отмечена точка $P_{\frac{\pi}{4}}$. Определите углы, соответствующие точке, симметричной точке $P_{\frac{\pi}{4}}$ относительно:

а) оси ординат;

б) оси абсцисс;

в) начала координат.

Исходная точка $P_{\frac{\pi}{4}}$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Координаты этой точки: $(\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

а) оси ординат: При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$. Угол, соответствующий новой точке, равен $\pi - \alpha$.
Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$ симметричный угол равен:
$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Дробь $\frac{3}{4}$ является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б) оси абсцисс: При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x, -y)$. Угол, соответствующий новой точке, равен $-\alpha$ или, в положительном выражении, $2\pi - \alpha$.
Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$ симметричный угол равен:
$2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
Коэффициент при $\pi$ является неправильной дробью $\frac{7}{4}$. Представим его в виде смешанного числа, чтобы выделить целую часть: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Ответ: $(\mathbf{1}\frac{3}{4})\pi$.

в) начала координат: При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, -y)$. Угол, соответствующий новой точке, равен $\alpha + \pi$.
Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$ симметричный угол равен:
$\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Коэффициент при $\pi$ является неправильной дробью $\frac{5}{4}$. Представим его в виде смешанного числа, чтобы выделить целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: $(\mathbf{1}\frac{1}{4})\pi$.