Номер 6.9, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.9. Запишите все углы $ \alpha $, при повороте на которые точки $ P_0(1; 0) $ вокруг начала координат будет получена точка:

а) $ P_\alpha(0; 1); $

б) $ P_\alpha(1; 0); $

в) $ P_\alpha(-1; 0); $

г) $ P_\alpha(0; -1). $

Для решения данной задачи воспользуемся понятием единичной окружности. Начальная точка $P_0(1; 0)$ на координатной плоскости соответствует углу поворота, равному 0. При повороте этой точки вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки мы получаем точку $P_{\alpha}$ с координатами $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Таким образом, для каждого указанного в задаче пункта нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых координаты точки $P_{\alpha}$ будут совпадать с заданными.

• а) $P_{\alpha}(0;1)$;

  Требуется найти все углы $\alpha$, при повороте на которые точка $P_0(1;0)$ переходит в точку $P_{\alpha}(0;1)$. Это означает, что мы ищем углы, удовлетворяющие системе уравнений: $ \begin{cases} \cos\alpha = 0 \\ \sin\alpha = 1 \end{cases} $ На единичной окружности данной точке соответствует угол, равный $\frac{\pi}{2}$ радиан (или $90^\circ$). Поскольку тригонометрические функции являются периодическими с периодом $2\pi$, к этому углу можно прибавить любое целое число полных оборотов ($2\pi k$). Следовательно, общее решение для угла $\alpha$ имеет вид: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

  Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

• б) $P_{\alpha}(1;0)$;

  В этом случае конечная точка совпадает с начальной $P_0(1;0)$. Искомые углы $\alpha$ должны удовлетворять системе: $ \begin{cases} \cos\alpha = 1 \\ \sin\alpha = 0 \end{cases} $ Этой точке на единичной окружности соответствует угол $0$ радиан. Учитывая периодичность, любой угол, кратный $2\pi$ (полный оборот), также будет решением. Таким образом, общее решение: $\alpha = 0 + 2\pi k = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

  Ответ: $\alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

• в) $P_{\alpha}(-1;0)$;

  Ищем все углы $\alpha$, для которых точка $P_{\alpha}$ имеет координаты $(-1; 0)$. Система уравнений: $ \begin{cases} \cos\alpha = -1 \\ \sin\alpha = 0 \end{cases} $ На единичной окружности этой точке, расположенной на отрицательной полуоси абсцисс, соответствует угол $\pi$ радиан (или $180^\circ$). С учетом всех возможных полных оборотов, общее решение имеет вид: $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

  Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

• г) $P_{\alpha}(0;-1)$;

  Ищем все углы $\alpha$, для которых $P_{\alpha}$ имеет координаты $(0; -1)$. Система уравнений: $ \begin{cases} \cos\alpha = 0 \\ \sin\alpha = -1 \end{cases} $ Этой точке на единичной окружности, расположенной на отрицательной полуоси ординат, соответствует угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан (или $270^\circ$). Общее решение с учетом периодичности: $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Согласно требованию, в выражении для угла $\frac{3\pi}{2}$ необходимо выделить целую часть из неправильной дроби $\frac{3}{2}$. Имеем: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Таким образом, угол можно записать в виде смешанного числа.

  Ответ: $\alpha = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$