Номер 6.10, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.10. Запишите несколько углов $α$, на которые нужно повернуть точку $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат, чтобы получить точку:

a) $P_\alpha \left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $P_\alpha \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

При повороте точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, ее новые координаты $(x, y)$ определяются формулами $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$. Следовательно, чтобы найти угол поворота $\alpha$, нам нужно решить систему тригонометрических уравнений, используя заданные координаты точки $P_\alpha$. Учитывая, что тригонометрические функции являются периодическими, для каждого случая существует бесконечное множество углов. Общая формула для всех таких углов записывается как $\alpha = \alpha_0 + 2\pi k$ (в радианах) или $\alpha = \alpha_0 + 360^\circ k$ (в градусах), где $\alpha_0$ — один из возможных углов, а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Нам нужно найти углы $\alpha$, для которых выполняются следующие условия: $ \begin{cases} \cos\alpha = \frac{1}{2} \\ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $ Такое сочетание значений косинуса и синуса соответствует углу, расположенному в первой координатной четверти. Основной угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha_0 = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, все возможные углы поворота можно найти по общей формуле: $ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Приведем несколько примеров таких углов, подставляя различные целые значения $k$:

• При $k=0$: $ \alpha = \frac{\pi}{3} $
• При $k=1$: $ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi + 6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} = \mathbf{2}\frac{1}{3}\pi $
• При $k=-1$: $ \alpha = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} = -\mathbf{1}\frac{2}{3}\pi $
• При $k=2$: $ \alpha = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi + 12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} = \mathbf{4}\frac{1}{3}\pi $

Ответ: для угла $\frac{7\pi}{3}$ целая часть равна 2.

Нам нужно найти углы $\alpha$, для которых выполняются следующие условия: $ \begin{cases} \cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $ Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что угол находится во второй координатной четверти. Основной угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha_0 = \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, все возможные углы поворота можно найти по общей формуле: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Приведем несколько примеров таких углов, подставляя различные целые значения $k$:

• При $k=0$: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $
• При $k=1$: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi + 8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} = \mathbf{2}\frac{3}{4}\pi $
• При $k=-1$: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4} = -\mathbf{1}\frac{1}{4}\pi $
• При $k=2$: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{3\pi + 16\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} = \mathbf{4}\frac{3}{4}\pi $

Ответ: для угла $\frac{11\pi}{4}$ целая часть равна 2.