Номер 1.7, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.7. Докажите, что композиция возрастающей и убывающей функций есть убывающая функция.

Для доказательства данного утверждения необходимо рассмотреть два возможных случая, так как в условии не указано, какая из функций в композиции является возрастающей, а какая — убывающей (внутренняя или внешняя).

Пусть функция $f(x)$ определена на некотором множестве $X$, а функция $g(y)$ определена на множестве $Y$, которое содержит область значений функции $f$. Рассмотрим их композицию — сложную функцию $h(x) = g(f(x))$, которая будет определена на множестве $X$.

Вспомним определения монотонных функций:

• Функция $f(x)$ называется возрастающей, если для любых $x_1, x_2$ из её области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
• Функция $f(x)$ называется убывающей, если для любых $x_1, x_2$ из её области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Нам нужно доказать, что функция $h(x)$ является убывающей, то есть для любых $x_1, x_2$ из её области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) > h(x_2)$.

Случай 1: Внутренняя функция $f(x)$ — возрастающая, а внешняя функция $g(y)$ — убывающая.

Возьмём два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения функции $h(x)$ так, что $x_1 < x_2$. Проследим, как меняется значение композиции:

1. Поскольку $f(x)$ является возрастающей функцией, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$.
2. Обозначим $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Тогда мы имеем $y_1 < y_2$. Эти значения являются аргументами для функции $g(y)$.
3. Поскольку $g(y)$ является убывающей функцией, то из $y_1 < y_2$ следует, что $g(y_1) > g(y_2)$.
4. Подставив обратно выражения для $y_1$ и $y_2$, получаем: $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$.
5. Так как по определению $h(x) = g(f(x))$, мы приходим к неравенству $h(x_1) > h(x_2)$.

Таким образом, мы доказали, что из $x_1 < x_2$ следует $h(x_1) > h(x_2)$. Это по определению означает, что функция $h(x)$ является убывающей.

Случай 2: Внутренняя функция $f(x)$ — убывающая, а внешняя функция $g(y)$ — возрастающая.

Снова возьмём два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения функции $h(x)$ так, что $x_1 < x_2$.

1. Поскольку $f(x)$ является убывающей функцией, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$.
2. Обозначим $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Тогда мы имеем $y_1 > y_2$, или, что то же самое, $y_2 < y_1$.
3. Поскольку $g(y)$ является возрастающей функцией, то из $y_2 < y_1$ следует, что $g(y_2) < g(y_1)$.
4. Подставив обратно выражения для $y_1$ и $y_2$, получаем: $g(f(x_2)) < g(f(x_1))$, что эквивалентно $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$.
5. Так как $h(x) = g(f(x))$, мы приходим к неравенству $h(x_1) > h(x_2)$.

Таким образом, и в этом случае мы доказали, что из $x_1 < x_2$ следует $h(x_1) > h(x_2)$. Это по определению означает, что функция $h(x)$ является убывающей.

Вывод: Вне зависимости от того, какая из функций (внутренняя или внешняя) является возрастающей, а какая убывающей, их композиция всегда будет убывающей функцией. Утверждение доказано.