Номер 12, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Вычислите $\frac{\cos 0.5t \cdot \sin^3 0.5t}{\sin t - 2\sin 2t + \sin 3t}$, если $\cos t = \frac{1}{16}$.

Для решения задачи необходимо упростить данное тригонометрическое выражение. Проведем упрощение числителя и знаменателя по отдельности.

Упростим числитель: $ \cos(0,5t) \cdot \sin^3(0,5t) $.

Используя обозначение $ \frac{t}{2} $ вместо $ 0,5t $, перепишем числитель: $ \cos\frac{t}{2} \cdot \sin^3\frac{t}{2} $. Представим его в виде $ \left(\sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2}\right) \cdot \sin^2\frac{t}{2} $.

Применим известные тригонометрические формулы двойного и половинного угла:

• $ \sin t = 2 \sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2} \implies \sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2} = \frac{1}{2} \sin t $
• $ \cos t = 1 - 2 \sin^2\frac{t}{2} \implies \sin^2\frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} $

Подставив эти выражения, получаем для числителя:
$ \left(\frac{1}{2} \sin t\right) \cdot \left(\frac{1 - \cos t}{2}\right) = \frac{\sin t (1 - \cos t)}{4} $.

Упростим знаменатель: $ \sin t - 2\sin 2t + \sin 3t $.

Сгруппируем слагаемые: $ (\sin 3t + \sin t) - 2\sin 2t $. Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin 3t + \sin t = 2 \sin\frac{3t+t}{2} \cos\frac{3t-t}{2} = 2 \sin 2t \cos t $.

Теперь знаменатель имеет вид:
$ 2 \sin 2t \cos t - 2\sin 2t = 2\sin 2t (\cos t - 1) $.

Соберем дробь и продолжим упрощение:

Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$ \frac{\frac{\sin t (1 - \cos t)}{4}}{2\sin 2t (\cos t - 1)} = \frac{\sin t (1 - \cos t)}{8\sin 2t (\cos t - 1)} $.

Так как $ 1 - \cos t = -(\cos t - 1) $ и по условию $ \cos t = \frac{1}{16} \neq 1 $, мы можем сократить дробь на $ (\cos t - 1) $:
$ \frac{\sin t \cdot [-(\cos t - 1)]}{8\sin 2t (\cos t - 1)} = \frac{-\sin t}{8\sin 2t} $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2t = 2\sin t \cos t $:
$ \frac{-\sin t}{8(2\sin t \cos t)} = \frac{-\sin t}{16\sin t \cos t} $.

Поскольку $ \cos t = \frac{1}{16} $, то $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t \neq 0 $, значит $ \sin t \neq 0 $. Сокращаем на $ \sin t $:
$ -\frac{1}{16\cos t} $.

Вычислим итоговое значение:

Подставим данное в условии значение $ \cos t = \frac{1}{16} $ в полученное выражение:

$ -\frac{1}{16 \cdot \frac{1}{16}} = -\frac{1}{1} = -1 $.

Ответ: -1