Номер 14, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите значение выражения $tg9^\circ - tg63^\circ + tg81^\circ - tg27^\circ$.

Для нахождения значения выражения $\text{tg}9^\circ - \text{tg}63^\circ + \text{tg}81^\circ - \text{tg}27^\circ$ выполним следующие преобразования.

Шаг 1: Группировка слагаемых

Сгруппируем слагаемые, используя тот факт, что некоторые углы являются дополнительными друг к другу (их сумма равна $90^\circ$).

$(\text{tg}9^\circ + \text{tg}81^\circ) - (\text{tg}63^\circ + \text{tg}27^\circ)$

Шаг 2: Применение формул приведения

Воспользуемся тригонометрической формулой приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$.

• $\text{tg}81^\circ = \text{tg}(90^\circ - 9^\circ) = \text{ctg}9^\circ$
• $\text{tg}63^\circ = \text{tg}(90^\circ - 27^\circ) = \text{ctg}27^\circ$

Подставим полученные значения в наше выражение:

$(\text{tg}9^\circ + \text{ctg}9^\circ) - (\text{ctg}27^\circ + \text{tg}27^\circ)$

Шаг 3: Упрощение суммы тангенса и котангенса

Преобразуем выражение вида $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$:

$\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$, окончательно получаем:

$\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$

Шаг 4: Применение полученной формулы к выражению

Применим эту формулу к каждой из скобок в нашем выражении:

• $\text{tg}9^\circ + \text{ctg}9^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 9^\circ)} = \frac{2}{\sin18^\circ}$
• $\text{tg}27^\circ + \text{ctg}27^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 27^\circ)} = \frac{2}{\sin54^\circ}$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{2}{\sin18^\circ} - \frac{2}{\sin54^\circ}$

Шаг 5: Вычитание дробей и дальнейшее упрощение

Вынесем общий множитель 2 за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$2 \left( \frac{1}{\sin18^\circ} - \frac{1}{\sin54^\circ} \right) = 2 \left( \frac{\sin54^\circ - \sin18^\circ}{\sin18^\circ \sin54^\circ} \right)$

Для преобразования числителя используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin54^\circ - \sin18^\circ = 2\cos\frac{54^\circ+18^\circ}{2}\sin\frac{54^\circ-18^\circ}{2} = 2\cos36^\circ\sin18^\circ$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2 \left( \frac{2\cos36^\circ\sin18^\circ}{\sin18^\circ \sin54^\circ} \right) = \frac{4\cos36^\circ\sin18^\circ}{\sin18^\circ \sin54^\circ}$

Сократим дробь на $\sin18^\circ$:

$\frac{4\cos36^\circ}{\sin54^\circ}$

Шаг 6: Окончательный расчет

Снова воспользуемся формулой приведения, на этот раз для синуса: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

$\sin54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos36^\circ$

Подставив это в выражение, получаем финальный ответ:

$\frac{4\cos36^\circ}{\cos36^\circ} = 4$

Ответ: 4