Номер 9, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.9. Приборы одного наименования изготавливаются двумя предприятиями. Первое поставляет $\frac{2}{3}$ всех изделий, второе $-\frac{1}{3}$. Надежность приборов первого предприятия $-$ $0,9$, а второго $-$ $0,8$. Найдите вероятность того, что:

а) выбран надежный прибор;

б) выбранный надежный прибор изготовлен на первом предприятии;

в) выбранный надежный прибор изготовлен на втором предприятии.

Для решения этой задачи по теории вероятностей введем следующие события:

• $H_1$ – событие, состоящее в том, что выбранный прибор изготовлен первым предприятием.
• $H_2$ – событие, состоящее в том, что выбранный прибор изготовлен вторым предприятием.
• $A$ – событие, состоящее в том, что выбранный прибор является надежным.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что прибор изготовлен первым предприятием: $P(H_1) = \frac{2}{3}$.
• Вероятность того, что прибор изготовлен вторым предприятием: $P(H_2) = \frac{1}{3}$.
• Вероятность того, что прибор с первого предприятия окажется надежным (условная вероятность): $P(A|H_1) = 0,9$.
• Вероятность того, что прибор со второго предприятия окажется надежным (условная вероятность): $P(A|H_2) = 0,8$.

а) выбран надежный прибор;

Вероятность того, что случайно выбранный прибор окажется надежным (событие $A$), можно найти по формуле полной вероятности. Событие $A$ произойдет, если произойдет одно из двух несовместных событий: прибор изготовлен первым предприятием и он надежен ($H_1 \cdot A$) или прибор изготовлен вторым предприятием и он надежен ($H_2 \cdot A$).

Формула полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим известные значения:

$P(A) = \frac{2}{3} \cdot 0,9 + \frac{1}{3} \cdot 0,8 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{10} = \frac{18}{30} + \frac{8}{30} = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}$

Ответ: $\frac{13}{15}$

б) выбранный надежный прибор изготовлен на первом предприятии;

Здесь необходимо найти условную вероятность $P(H_1|A)$ – то есть, вероятность того, что прибор был изготовлен на первом предприятии, при условии, что он уже оказался надежным. Для этого применяется формула Байеса:

$P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}$

Значение знаменателя $P(A)$ мы уже нашли в пункте а). Подставим все известные значения в формулу:

$P(H_1|A) = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0,9}{\frac{13}{15}} = \frac{\frac{18}{30}}{\frac{26}{30}} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}$

Ответ: $\frac{9}{13}$

в) выбранный надежный прибор изготовлен на втором предприятии.

Аналогично пункту б), найдем условную вероятность $P(H_2|A)$, используя формулу Байеса:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)}$

Подставим значения:

$P(H_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,8}{\frac{13}{15}} = \frac{\frac{8}{30}}{\frac{26}{30}} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13}$

Также эту вероятность можно было найти, зная, что если надежный прибор не с первого предприятия, то он обязательно со второго (в рамках данного события):

$P(H_2|A) = 1 - P(H_1|A) = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$

Ответ: $\frac{4}{13}$