Номер 3, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.3. Верно ли, что:

a) $\ln5 < \ln6;$

б) $\log_{\frac{3}{7}} 6 < \log_{\frac{3}{7}} 7?$

а) Чтобы сравнить значения $\ln 5$ и $\ln 6$, мы должны проанализировать свойства функции натурального логарифма $y = \ln x$.

Натуральный логарифм ($\ln x$) — это логарифм по основанию $e$, где $e$ — число Эйлера, приблизительно равное $2.718$.

Ключевое свойство логарифмической функции $y = \log_a x$ заключается в том, что если основание $a > 1$, функция является возрастающей. В нашем случае основание $e \approx 2.718 > 1$, следовательно, функция $y = \ln x$ является возрастающей на всей области определения ($x > 0$).

Для возрастающей функции выполняется следующее правило: чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. То есть, если $x_1 < x_2$, то и $f(x_1) < f(x_2)$.

Сравним аргументы логарифмов: $5 < 6$.

Поскольку функция $y = \ln x$ возрастающая, из неравенства $5 < 6$ следует, что $\ln 5 < \ln 6$.

Таким образом, данное утверждение является верным.

Ответ: Да.

б) Чтобы сравнить значения $\log_{\frac{3}{7}} 6$ и $\log_{\frac{3}{7}} 7$, мы рассмотрим свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ с основанием $a = \frac{3}{7}$.

Поведение логарифмической функции зависит от ее основания. Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

В данном случае основание $a = \frac{3}{7}$. Поскольку $3 < 7$, дробь $\frac{3}{7}$ меньше 1, но больше 0. Таким образом, $0 < \frac{3}{7} < 1$. Это означает, что функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ является убывающей на всей области определения ($x > 0$).

Для убывающей функции выполняется обратное правило: чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. То есть, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Сравним аргументы логарифмов: $6 < 7$.

Так как функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ убывающая, из неравенства $6 < 7$ следует, что $\log_{\frac{3}{7}} 6 > \log_{\frac{3}{7}} 7$.

Следовательно, исходное неравенство $\log_{\frac{3}{7}} 6 < \log_{\frac{3}{7}} 7$ является неверным.

Ответ: Нет.