Номер 44, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.44. Вычислите: $(8 + 3\sqrt{7})^{\log_3(2+\sqrt{3})} \cdot 4^{\log_2\sqrt{53}} \cdot (2 - \sqrt{3})^{-\log_9(8-3\sqrt{7})^2}$

Для вычисления значения данного выражения, упростим его по частям. Обозначим исходное выражение как $E$.

$E = (8+3\sqrt{7})^{\log_3(2+\sqrt{3})} \cdot 4^{\log_2\sqrt{53}} \cdot (2-\sqrt{3})^{-\log_9(8-3\sqrt{7})^2}$

Разобьем выражение на три множителя и проанализируем каждый из них:

• $T_1 = (8+3\sqrt{7})^{\log_3(2+\sqrt{3})}$
• $T_2 = 4^{\log_2\sqrt{53}}$
• $T_3 = (2-\sqrt{3})^{-\log_9(8-3\sqrt{7})^2}$

Упрощение второго множителя $T_2$:

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойства степеней:

$T_2 = 4^{\log_2\sqrt{53}} = (2^2)^{\log_2\sqrt{53}} = 2^{2\log_2\sqrt{53}} = 2^{\log_2((\sqrt{53})^2)} = 2^{\log_2 53} = 53$.

Упрощение произведения первого и третьего множителей $T_1 \cdot T_3$:

Сначала преобразуем третий множитель $T_3$. Упростим его показатель степени:

$-\log_9(8-3\sqrt{7})^2$

Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:

$-\log_{3^2}(8-3\sqrt{7})^2 = -\frac{2}{2}\log_3(8-3\sqrt{7}) = -\log_3(8-3\sqrt{7})$

Заметим, что выражения в основаниях степеней и под знаками логарифмов попарно сопряженные:

$(8+3\sqrt{7})(8-3\sqrt{7}) = 8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1 \implies 8-3\sqrt{7} = (8+3\sqrt{7})^{-1}$.

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3 = 1 \implies 2-\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.

Подставим $8-3\sqrt{7} = (8+3\sqrt{7})^{-1}$ в показатель степени $T_3$:

$-\log_3((8+3\sqrt{7})^{-1}) = -(-\log_3(8+3\sqrt{7})) = \log_3(8+3\sqrt{7})$.

Таким образом, третий множитель равен:

$T_3 = (2-\sqrt{3})^{\log_3(8+3\sqrt{7})}$.

Теперь рассмотрим произведение $T_1 \cdot T_3$:

$T_1 \cdot T_3 = (8+3\sqrt{7})^{\log_3(2+\sqrt{3})} \cdot (2-\sqrt{3})^{\log_3(8+3\sqrt{7})}$.

Для удобства введем обозначения: $A = 8+3\sqrt{7}$ и $B = 2+\sqrt{3}$. Тогда $2-\sqrt{3} = B^{-1}$.

Произведение принимает вид: $A^{\log_3 B} \cdot (B^{-1})^{\log_3 A} = A^{\log_3 B} \cdot B^{-\log_3 A}$.

Воспользуемся свойством $x^{\log_c y} = y^{\log_c x}$. Применим его к первому сомножителю $A^{\log_3 B}$:

$A^{\log_3 B} = B^{\log_3 A}$.

Подставим это в наше произведение:

$B^{\log_3 A} \cdot B^{-\log_3 A} = B^{\log_3 A - \log_3 A} = B^0 = 1$.

Итак, произведение первого и третьего множителей равно 1.

Итоговое вычисление:

Теперь мы можем найти значение всего выражения, перемножив полученные результаты:

$E = (T_1 \cdot T_3) \cdot T_2 = 1 \cdot 53 = 53$.

Ответ: 53