Номер 1, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.1. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 7:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = -\log_2 x;$

в) $y = \log_2 (-x);$

г) $y = -\log_2 (-x);$

д) $y = -2^x.$

Для того чтобы выбрать правильную функцию, проанализируем данный на рисунке график.

Анализ графика:

• Область определения: График функции находится в левой полуплоскости, что означает, что функция определена для $x < 0$.
• Ключевые точки: Можно определить несколько целых точек, через которые проходит график: $(-1, 0)$, $(-2, 1)$, $(-4, 2)$, $(-8, 3)$.
• Монотонность: Функция является убывающей на всей своей области определения (с ростом $x$ значение $y$ уменьшается).
• Асимптота: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.

Теперь проверим каждую из предложенных функций на соответствие этим свойствам.

а) $y = \log_2 x$
Область определения этой функции $x > 0$. Это противоречит графику, который определен только при $x < 0$.
Ответ: неверно.

б) $y = -\log_2 x$
Область определения этой функции также $x > 0$, что не соответствует графику.
Ответ: неверно.

в) $y = \log_2 (-x)$
1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $-x > 0$, что равносильно $x < 0$. Это соответствует графику.
2. Проверка ключевых точек:

• При $x = -1 \implies y = \log_2(-(-1)) = \log_2(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$ подходит.
• При $x = -2 \implies y = \log_2(-(-2)) = \log_2(2) = 1$. Точка $(-2, 1)$ подходит.
• При $x = -4 \implies y = \log_2(-(-4)) = \log_2(4) = 2$. Точка $(-4, 2)$ подходит.
• При $x = -8 \implies y = \log_2(-(-8)) = \log_2(8) = 3$. Точка $(-8, 3)$ подходит.

Все свойства и ключевые точки совпадают. График этой функции является зеркальным отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси $Oy$.
Ответ: верно.

г) $y = -\log_2 (-x)$
Область определения $x < 0$ подходит. Однако, проверим значение в точке $x = -2$: $y = -\log_2(-(-2)) = -\log_2(2) = -1$. На графике в этой точке значение функции равно $1$, а не $-1$.
Ответ: неверно.

д) $y = -2^x$
Это показательная функция. Область её значений $y < 0$ (так как $2^x$ всегда положительно). На графике же функция принимает и положительные значения (например, в точке $(-2, 1)$), поэтому этот вариант не подходит.
Ответ: неверно.