Номер 43, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.43. Упростите выражение:

a) $\frac{\log_2^2 20 + \log_2 20 \cdot \log_2 5 - 2\log_2^2 5}{\log_2 20 + 2\log_2 5}$;

б) $\frac{\log_2^2 18 - 4\log_2^2 3 + 3\log_2 18 + 6\log_2 3}{\log_2 18 + 2\log_2 3}$.

a) Рассмотрим выражение:

$$ \frac{\log_2^2 20 + \log_2 20 \cdot \log_2 5 - 2\log_2^2 5}{\log_2 20 + 2\log_2 5} $$

Для упрощения введем замены: пусть $a = \log_2 20$ и $b = \log_2 5$. Тогда выражение примет вид:

$$ \frac{a^2 + ab - 2b^2}{a + 2b} $$

Разложим числитель $a^2 + ab - 2b^2$ на множители. Это квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Найдем его корни, решив уравнение $a^2 + (b)a - 2b^2 = 0$:

$$ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4(1)(-2b^2)}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 8b^2}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{9b^2}}{2} = \frac{-b \pm 3b}{2} $$

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b+3b}{2} = b$ и $a_2 = \frac{-b-3b}{2} = -2b$.

Следовательно, числитель можно разложить на множители: $(a-a_1)(a-a_2) = (a-b)(a-(-2b)) = (a-b)(a+2b)$.

Подставим полученное разложение в дробь:

$$ \frac{(a-b)(a+2b)}{a+2b} $$

Сократим дробь на $(a+2b)$, поскольку знаменатель не равен нулю: $a+2b = \log_2 20 + 2\log_2 5 = \log_2 20 + \log_2 5^2 = \log_2(20 \cdot 25) = \log_2 500 \neq 0$.

В результате упрощения получаем $a-b$.

Выполним обратную замену:

$$ a - b = \log_2 20 - \log_2 5 $$

Используя свойство разности логарифмов $\log_c x - \log_c y = \log_c\left(\frac{x}{y}\right)$, получаем:

$$ \log_2 \left(\frac{20}{5}\right) = \log_2 4 = 2 $$

Ответ: 2

б) Рассмотрим выражение:

$$ \frac{\log_2^2 18 - 4\log_2^2 3 + 3\log_2 18 + 6\log_2 3}{\log_2 18 + 2\log_2 3} $$

Сгруппируем слагаемые в числителе: $(\log_2^2 18 - 4\log_2^2 3) + (3\log_2 18 + 6\log_2 3)$.

Первую группу разложим по формуле разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, заметив, что $4\log_2^2 3 = (2\log_2 3)^2$:

$$ \log_2^2 18 - (2\log_2 3)^2 = (\log_2 18 - 2\log_2 3)(\log_2 18 + 2\log_2 3) $$

Во второй группе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$$ 3\log_2 18 + 6\log_2 3 = 3(\log_2 18 + 2\log_2 3) $$

Теперь числитель можно записать в виде:

$$ (\log_2 18 - 2\log_2 3)(\log_2 18 + 2\log_2 3) + 3(\log_2 18 + 2\log_2 3) $$

Вынесем общий множитель $(\log_2 18 + 2\log_2 3)$ за скобки:

$$ (\log_2 18 + 2\log_2 3) \cdot (\log_2 18 - 2\log_2 3 + 3) $$

Подставим это выражение для числителя в исходную дробь:

$$ \frac{(\log_2 18 + 2\log_2 3)(\log_2 18 - 2\log_2 3 + 3)}{\log_2 18 + 2\log_2 3} $$

Сократим дробь на $(\log_2 18 + 2\log_2 3)$, так как этот множитель не равен нулю: $\log_2 18 + 2\log_2 3 = \log_2 18 + \log_2 3^2 = \log_2 (18 \cdot 9) = \log_2 162 \neq 0$.

После сокращения остается выражение:

$$ \log_2 18 - 2\log_2 3 + 3 $$

Применим свойства логарифмов $n\log_c x = \log_c x^n$ и $\log_c x - \log_c y = \log_c\left(\frac{x}{y}\right)$:

$$ \log_2 18 - \log_2 3^2 + 3 = \log_2 18 - \log_2 9 + 3 = \log_2\left(\frac{18}{9}\right) + 3 = \log_2 2 + 3 $$

Так как по определению логарифма $\log_2 2 = 1$, получаем:

$$ 1 + 3 = 4 $$

Ответ: 4