Номер 13, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.13. Найдите значение выражения $log_2 log_5 (\sqrt{7} - 1) - log_2 log_5 (8 - 2\sqrt{7})$.

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Исходное выражение:

$ \log_2 \log_5 (\sqrt{7}-1) - \log_2 \log_5 (8-2\sqrt{7}) $

1. Применим свойство разности логарифмов $ \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right) $:

$ \log_2 \left( \frac{\log_5(\sqrt{7}-1)}{\log_5(8-2\sqrt{7})} \right) $

2. К дроби, стоящей под знаком внешнего логарифма, применим формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $:

$ \frac{\log_5(\sqrt{7}-1)}{\log_5(8-2\sqrt{7})} = \log_{8-2\sqrt{7}}(\sqrt{7}-1) $

3. Теперь преобразуем основание полученного логарифма $ 8-2\sqrt{7} $. Заметим, что его можно представить в виде полного квадрата разности:

$ 8-2\sqrt{7} = 7 - 2\sqrt{7} + 1 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{7}-1)^2 $

4. Подставим преобразованное основание в логарифм:

$ \log_{8-2\sqrt{7}}(\sqrt{7}-1) = \log_{(\sqrt{7}-1)^2}(\sqrt{7}-1) $

5. Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $:

$ \log_{(\sqrt{7}-1)^2}(\sqrt{7}-1) = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{7}-1}(\sqrt{7}-1) $

Поскольку $ \log_a a = 1 $, то:

$ \frac{1}{2} \log_{\sqrt{7}-1}(\sqrt{7}-1) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

6. Вернемся к самому началу. Мы получили, что выражение в скобках равно $ \frac{1}{2} $. Подставим это значение:

$ \log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = \log_2(2^{-1}) = -1 $

Ответ: -1