Номер 19, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.19. Известно, что $ \log_a b = 6 $. Найдите $ \log_{b^6} (a^6 \cdot b^6) $.

Для решения данной задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов. Нам дано, что $ \log_a b = 6 $, и необходимо найти значение выражения $ \log_{b^6} (a^6 \cdot b^6) $.

Шаг 1: Упрощение выражения под знаком логарифма.

Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$.

Применив это свойство, получим:

$ a^6 \cdot b^6 = (a \cdot b)^6 $

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ \log_{b^6} ((ab)^6) $

Шаг 2: Упрощение логарифмического выражения.

Далее применим свойство логарифма, связанное с показателями степени в основании и в аргументе: $ \log_{c^n} (x^m) = \frac{m}{n} \log_c x $. В нашем случае $ m=6 $ и $ n=6 $.

$ \log_{b^6} ((ab)^6) = \frac{6}{6} \log_b (ab) = 1 \cdot \log_b (ab) = \log_b (ab) $

Шаг 3: Разложение логарифма произведения.

Используем свойство логарифма произведения: $ \log_c (xy) = \log_c x + \log_c y $.

$ \log_b (ab) = \log_b a + \log_b b $

Шаг 4: Вычисление значений отдельных логарифмов.

Логарифм числа по тому же основанию равен единице, поэтому:

$ \log_b b = 1 $

Для нахождения $ \log_b a $ воспользуемся данным из условия $ \log_a b = 6 $ и формулой перехода к новому основанию, которая в частном случае выглядит так: $ \log_x y = \frac{1}{\log_y x} $.

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{6} $

Шаг 5: Подстановка значений и финальный расчет.

Теперь подставим вычисленные значения обратно в выражение из шага 3:

$ \log_b a + \log_b b = \frac{1}{6} + 1 $

Приведем к общему знаменателю и сложим:

$ \frac{1}{6} + \frac{6}{6} = \frac{7}{6} $

Полученная дробь является неправильной. Преобразуем её в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$ \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} $

Найдите $ \log_{b^6} (a^6 \cdot b^6) $: Ответ: $ \mathbf{1} \frac{1}{6} $