Номер 26, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.26. Упростите выражение $a^{\frac{\lg(\lg a)}{\lg a}}$, где $a > 0, a \neq 1$.

Для того чтобы упростить данное выражение, мы будем использовать свойства логарифмов. Исходное выражение имеет вид:

$$ a^{\frac{\lg(\lg a)}{\lg a}} $$

Здесь $ \lg $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

Ключевым шагом в упрощении является преобразование показателя степени с помощью формулы перехода к новому основанию логарифма. Формула перехода к новому основанию выглядит так:

$$ \log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b} $$

Давайте применим эту формулу к показателю степени $ \frac{\lg(\lg a)}{\lg a} $. Мы можем рассматривать его как логарифм некоторого числа по основанию $ a $. Если мы выберем в качестве основания для "внешнего" логарифма $ c=10 $, то получим:

$$ \frac{\log_{10}(\lg a)}{\log_{10} a} $$

Сравнивая это с формулой перехода к новому основанию, мы видим, что это эквивалентно логарифму по основанию $ a $ от выражения $ \lg a $:

$$ \log_a(\lg a) = \frac{\lg(\lg a)}{\lg a} $$

Теперь мы можем заменить показатель степени в исходном выражении на полученный логарифм:

$$ a^{\frac{\lg(\lg a)}{\lg a}} = a^{\log_a(\lg a)} $$

Далее воспользуемся основным логарифмическим тождеством, которое гласит:

$$ b^{\log_b x} = x $$

В нашем случае основание степени $ b=a $, основание логарифма в показателе также равно $ a $, а аргумент логарифма $ x = \lg a $. Применяя это тождество, мы получаем окончательное упрощенное выражение:

$$ a^{\log_a(\lg a)} = \lg a $$

Заметим, что условия $ a > 0 $ и $ a \neq 1 $ обеспечивают существование и корректность всех логарифмов в выражении. В частности, для того чтобы $ \lg(\lg a) $ был определен, необходимо, чтобы $ \lg a > 0 $, что означает $ a > 1 $.

Ответ: $ \lg a $