Номер 18, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.18. Вычислите:

а) $4^{\log_2 3} \cdot 3^{\log_3^2 2} - 9 \cdot 2^{\log_3 2} + 2^{\log_4 9};$

б) $5^{\frac{1}{\log_3 5}} \cdot 5^{\log_5^2 4} - 3 \cdot 4^{\log_5 4} + \lg 0,01.$

a) Для вычисления значения выражения разобьем решение на несколько шагов, последовательно упрощая каждый член.

1. Преобразуем первый множитель $4^{\log_2 3}$. Представим основание 4 как $2^2$ и воспользуемся свойствами степеней и логарифмов:

$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3}$

Используем свойство $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2 9} = 9$

2. Преобразуем второй множитель $3^{\log_3^2 2}$. Запись $\log_3^2 2$ означает $(\log_3 2)^2$.

$3^{\log_3^2 2} = 3^{(\log_3 2) \cdot (\log_3 2)}$

Используя свойство степени $(a^b)^c=a^{bc}$, можем переписать это как:

$(3^{\log_3 2})^{\log_3 2}$

Так как по основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3 2} = 2$, выражение упрощается до:

$2^{\log_3 2}$

3. Теперь подставим полученные значения в первые два члена исходного выражения: $4^{\log_2 3} \cdot 3^{\log_3^2 2} - 9 \cdot 2^{\log_3 2}$.

$9 \cdot 2^{\log_3 2} - 9 \cdot 2^{\log_3 2} = 0$

4. Преобразуем последний член выражения $2^{\log_4 9}$. Для этого приведем логарифм к основанию 2, используя формулу $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:

$\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$

Тогда, по основному логарифмическому тождеству:

$2^{\log_4 9} = 2^{\log_2 3} = 3$

5. Сложим полученные результаты:

$0 + 3 = 3$

Ответ: 3

б) Для вычисления значения выражения разобьем решение на несколько шагов, последовательно упрощая каждый член.

1. Преобразуем первый множитель $5^{\frac{1}{\log_3 5}}$. Воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{1}{\log_3 5} = \log_5 3$

Тогда выражение принимает вид:

$5^{\frac{1}{\log_3 5}} = 5^{\log_5 3}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 3} = 3$

2. Преобразуем второй множитель $5^{\log_5^2 4}$. Запись $\log_5^2 4$ означает $(\log_5 4)^2$.

$5^{\log_5^2 4} = 5^{(\log_5 4) \cdot (\log_5 4)} = (5^{\log_5 4})^{\log_5 4}$

Так как по основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5 4} = 4$, выражение упрощается до:

$4^{\log_5 4}$

3. Теперь подставим полученные значения в первые два члена исходного выражения: $5^{\frac{1}{\log_3 5}} \cdot 5^{\log_5^2 4} - 3 \cdot 4^{\log_5 4}$.

$3 \cdot 4^{\log_5 4} - 3 \cdot 4^{\log_5 4} = 0$

4. Вычислим последний член выражения $\lg 0.01$. Десятичный логарифм ($\lg$) имеет основание 10. Представим 0.01 в виде степени 10:

$0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$

Тогда, по определению логарифма:

$\lg 0.01 = \log_{10}(10^{-2}) = -2$

5. Сложим полученные результаты:

$0 + (-2) = -2$

Ответ: -2